余弦定理を用いて、以下の三角形ABCに関する値を求めます。 (1) $A = 60^\circ$, $b = 8$, $c = 5$ のとき、$a$ の値を求めます。 (2) $B = 30^\circ$, $a = 3$, $c = 3\sqrt{3}$ のとき、$b$ の値を求めます。 (3) $C = 45^\circ$, $a = \sqrt{2}$, $b = 3$ のとき、$c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

余弦定理を用いて、以下の三角形ABCに関する値を求めます。

(1) $A = 60^\circ$, $b = 8$, $c = 5$ のとき、$a$ の値を求めます。

(2) $B = 30^\circ$, $a = 3$, $c = 3\sqrt{3}$ のとき、$b$ の値を求めます。

(3) $C = 45^\circ$, $a = \sqrt{2}$, $b = 3$ のとき、$c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ です。

$a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

$a = \sqrt{49} = 7$

(2) 余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ です。

$b^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 9 + 27 - 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 - 18 \cdot \frac{3}{2} = 36 - 27 = 9$

$b = \sqrt{9} = 3$

(3) 余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ です。

$c^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos 45^\circ = 2 + 9 - 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 11 - 6 \cdot \frac{2}{2} = 11 - 6 = 5$

$c = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 7$

(2) $b = 3$

(3) $c = \sqrt{5}$