点 $P$ は $\angle XOY$ の内部にあり、$OP = 4$ cm である。線分 $OA$ は線分 $OP$ を直線 $OX$ を対称軸として対称移動させたもの、線分 $OB$ は線分 $OP$ を直線 $OY$ を対称軸として対称移動させたものである。$\angle XOY$ は鋭角とする。以下の3つの問いに答える。 (1) $\angle AOB = 100^\circ$ のとき、$\angle XOY$ の大きさを求めよ。 (2) $\angle XOY = 45^\circ$ のとき、$\triangle AOB$ の面積を求めよ。 (3) $\triangle AOB$ の周の長さが $12$ cm のとき、$\angle XOY$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

点 $P$ は $\angle XOY$ の内部にあり、$OP = 4$ cm である。線分 $OA$ は線分 $OP$ を直線 $OX$ を対称軸として対称移動させたもの、線分 $OB$ は線分 $OP$ を直線 $OY$ を対称軸として対称移動させたものである。$\angle XOY$ は鋭角とする。以下の3つの問いに答える。

(1) $\angle AOB = 100^\circ$ のとき、$\angle XOY$ の大きさを求めよ。

(2) $\angle XOY = 45^\circ$ のとき、$\triangle AOB$ の面積を求めよ。

(3) $\triangle AOB$ の周の長さが $12$ cm のとき、$\angle XOY$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle AOX = \angle POX$, $\angle BOY = \angle POY$ であるから、

$\angle AOB = \angle AOX + \angle POX + \angle POY + \angle BOY = 2(\angle POX) + 2(\angle POY) = 2(\angle POX + \angle POY) = 2\angle XOY$

$\angle AOB = 100^\circ$ であるから、$2\angle XOY = 100^\circ$ となる。よって、$\angle XOY = 50^\circ$

(2) $\angle AOB = 2 \angle XOY = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$ である。

$OA = OB = OP = 4$ cm であるから、$\triangle AOB$ は $OA=OB=4$ cm の直角二等辺三角形である。

よって、$\triangle AOB$ の面積は $\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ cm$^2$

(3) $\triangle AOB$ において、$OA = OB = 4$ cm である。$\triangle AOB$ の周の長さが $12$ cm であるから、$OA + OB + AB = 12$ より、$4 + 4 + AB = 12$ となるので、$AB = 4$ cm である。

したがって、$\triangle AOB$ は $OA = OB = AB = 4$ cm の正三角形である。

$\angle AOB = 60^\circ$ であるから、$2\angle XOY = 60^\circ$ より、$\angle XOY = 30^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $50^\circ$

(2) $8$ cm$^2$

(3) $30^\circ$