線分AB上に点Cがあり、$AC > CB$である。ACとCBをそれぞれ1辺とする正三角形ACDとCBEがABの同じ側に作られている。点Eを通ってABに平行な直線とCD, ADとの交点をそれぞれF, Gとする。線分AF, BD, DEを引く。このとき、三角形BCDと面積が等しい三角形をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

線分AB上に点Cがあり、$AC > CB$である。ACとCBをそれぞれ1辺とする正三角形ACDとCBEがABの同じ側に作られている。点Eを通ってABに平行な直線とCD, ADとの交点をそれぞれF, Gとする。線分AF, BD, DEを引く。このとき、三角形BCDと面積が等しい三角形をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から図形を注意深く観察します。

・$\triangle ACD$と$\triangle CBE$は正三角形なので、$AC = CD = AD$、$CB = BE = CE$であり、$\angle ACD = \angle CBE = 60^\circ$です。

・$GE \parallel AB$です。

$\triangle BCD$と面積が等しい三角形を見つけるために、平行線と等積変形を利用します。

* まず、$GE \parallel AB$より$\triangle BCE$の面積と$\triangle ACE$の面積が等しいことを利用します。

* 次に$GE \parallel AB$であることから、$\triangle CDE$の面積と$\triangle CDE$と面積が等しい三角形を見つけます。

* $AB\parallel GE$より、$\triangle BCD$の底辺を$BC$と考えると、$\triangle BCE$の面積は$\triangle BCE$と等しい。

* $AB\parallel GE$より、$\triangle ABE$の底辺を$BE$と考えると、$\triangle ABE$の面積は$\triangle ABE$と等しい。

$BC$を底辺と考えると高さが等しいことから、$\triangle BCD$の面積と$\triangle BCE$の面積が等しいことがわかります。

また、$AB\parallel GE$より、$\triangle FBC$と$\triangle EBC$は等積である。

$FE \parallel AB$なので、$\triangle BCD$の面積と等しい三角形は、$\triangle BCE$となります。

最終的な答え

$\triangle BCE$