$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$ であり、$\vec{a}-\vec{b}$ と $3\vec{a}+2\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める問題です。

1. 問題の内容

$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$ であり、$\vec{a}-\vec{b}$ と $3\vec{a}+2\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つのベクトルが垂直であるとき、それらの内積は0になります。つまり、$(\vec{a}-\vec{b})\cdot(3\vec{a}+2\vec{b})=0$ です。

この式を展開すると、

$$3\vec{a}\cdot\vec{a} + 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 3\vec{b}\cdot\vec{a} - 2\vec{b}\cdot\vec{b} = 0$$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ であるため、

$$3|\vec{a}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0$$

$|\vec{a}|=1$ と $|\vec{b}|=\sqrt{2}$ を代入すると、

$$3(1)^2 - \vec{a}\cdot\vec{b} - 2(\sqrt{2})^2 = 0$$

$$3 - \vec{a}\cdot\vec{b} - 4 = 0$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = -1$$

ここで、$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ ($\theta$は$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角) であるから、

$$-1 = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\theta$$

$$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

よって、$\theta = 135^\circ$ です。

3. 最終的な答え

135°