三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{3}, BC = 2, \angle C = 120^{\circ}$である。 (1) $\angle A$の大きさと$CA$の長さを求めよ。 (2) 三角形ABCの面積をSとするとき、Sを求めよ。 (3) 三角形ABCの内接円の半径をrとするとき、rを求めよ。また、三角形ABCの内接円の中心をI、外接円の中心をOとするとき、線分OIの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{3}, BC = 2, \angle C = 120^{\circ}$である。

(1) $\angle A$の大きさと$CA$の長さを求めよ。

(2) 三角形ABCの面積をSとするとき、Sを求めよ。

(3) 三角形ABCの内接円の半径をrとするとき、rを求めよ。また、三角形ABCの内接円の中心をI、外接円の中心をOとするとき、線分OIの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2(BC)(CA) \cos{C}$を計算する。

$AB = 2\sqrt{3}, BC = 2, \angle C = 120^{\circ}$を代入すると、

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 + CA^2 - 2(2)(CA)\cos{120^{\circ}}$

$12 = 4 + CA^2 - 4(CA)(-\frac{1}{2})$

$12 = 4 + CA^2 + 2CA$

$CA^2 + 2CA - 8 = 0$

$(CA+4)(CA-2) = 0$

$CA > 0$より、$CA = 2$

正弦定理より$\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AB}{\sin{C}}$

$\frac{2}{\sin{A}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin{120^{\circ}}}$

$\sin{A} = \frac{2\sin{120^{\circ}}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sin{120^{\circ}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$0 < A < 180^{\circ}$なので$A = 30^{\circ}$または$A = 150^{\circ}$だが、$A+C < 180^{\circ}$より、$A = 30^{\circ}$

(2) $S = \frac{1}{2} (BC)(CA) \sin{C} = \frac{1}{2}(2)(2)\sin{120^{\circ}} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(3) $S = \frac{1}{2} r (AB+BC+CA) = \sqrt{3}$

$\frac{1}{2}r(2\sqrt{3}+2+2) = \sqrt{3}$

$\frac{1}{2}r(2\sqrt{3}+4) = \sqrt{3}$

$r(\sqrt{3}+2) = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}-3}{4-3} = 2\sqrt{3}-3$

線分OIの長さは、オイラーの定理 $OI^2 = R(R-2r)$ で求められる。

正弦定理より$\frac{BC}{\sin{A}} = 2R$

$2R = \frac{2}{\sin{30^{\circ}}} = \frac{2}{1/2} = 4$より、$R=2$

$OI^2 = 2(2-2(2\sqrt{3}-3)) = 2(2-4\sqrt{3}+6) = 2(8-4\sqrt{3}) = 16 - 8\sqrt{3}$

$OI = \sqrt{16 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{16 - 2\sqrt{48}}$

$OI = \sqrt{(2\sqrt{3} - 2)^2}=2\sqrt{2(2-\sqrt{3})} = \sqrt{(4-2\sqrt{3})}=|2-2\sqrt{3}|$

$OI=\sqrt{(2\sqrt{3} - 2)^2}= 2\sqrt{2-\sqrt{3}}$

$2\sqrt{2} - 3$

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = 30^{\circ}$, $CA = 2$

(2) $S = \sqrt{3}$

(3) $r = 2\sqrt{3}-3$, $OI = \sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3} - 1$