三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=\sqrt{39}$, $CA=2$である。 (1) $\angle A$の大きさと$\triangle ABC$の面積を求める。 (2) $\triangle ABC$の外接円Oの半径を求める。 (3) $\angle A$の二等分線と円Oの交点のうち、Aと異なる点をDとする。 (i) BDおよびADの長さをそれぞれ求める。 (ii) 線分ADと辺BCの交点をEとするとき、DEの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=\sqrt{39}$, $CA=2$である。

(1) $\angle A$の大きさと$\triangle ABC$の面積を求める。

(2) $\triangle ABC$の外接円Oの半径を求める。

(3) $\angle A$の二等分線と円Oの交点のうち、Aと異なる点をDとする。

(i) BDおよびADの長さをそれぞれ求める。

(ii) 線分ADと辺BCの交点をEとするとき、DEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\angle A$ の大きさを求める。余弦定理を用いる。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$(\sqrt{39})^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cos A$

$39 = 25 + 4 - 20 \cos A$

$10 = -20 \cos A$

$\cos A = -\frac{1}{2}$

$\angle A = 120^{\circ}$

$\triangle ABC$の面積を求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \sin 120^{\circ}$

$S = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

(2) $\triangle ABC$の外接円の半径Rを求める。正弦定理を用いる。

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$\frac{\sqrt{39}}{\sin 120^{\circ}} = 2R$

$\frac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{39}{3}} = \sqrt{13}$

(3) (i) BDの長さを求める。$\angle BAC$の二等分線を引いたので、$\angle BAD = \angle CAD = 60^{\circ}$

円周角の定理より、$\angle BCD = \angle BAD = 60^{\circ}$。

$\angle CBD = \angle CAD = 60^{\circ}$。よって、$\triangle BCD$は正三角形である。

$BD = BC = CD = \sqrt{39}$

ADの長さを求める。$\triangle ABD$において、余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 120^{\circ}$

$39 = 25 + AD^2 - 2 \cdot 5 \cdot AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$39 = 25 + AD^2 + 5AD$

$AD^2 + 5AD - 14 = 0$

$(AD+7)(AD-2) = 0$

$AD>0$より、$AD=2$

(ii) 線分ADと辺BCの交点をEとするとき、DEの長さを求める。

$\angle BAE = \angle CAE = 60^{\circ}$。角の二等分線の定理より、

$BE:EC = AB:AC = 5:2$。

$BE = \frac{5}{7}BC = \frac{5}{7}\sqrt{39}$。

$EC = \frac{2}{7}BC = \frac{2}{7}\sqrt{39}$。

$\triangle ABE$において、余弦定理を用いる。

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot \cos B$。

また、$\triangle ABC$において、余弦定理より、

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{5^2 + (\sqrt{39})^2 - 2^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{39}} = \frac{25 + 39 - 4}{10\sqrt{39}} = \frac{60}{10\sqrt{39}} = \frac{6}{\sqrt{39}}$

方べきの定理より、$BE \cdot EC = AE \cdot DE$

$\frac{5}{7}\sqrt{39} \cdot \frac{2}{7}\sqrt{39} = AE \cdot DE$

$\frac{10}{49} \cdot 39 = AE \cdot DE$

$\frac{390}{49} = AE \cdot DE$

$AE = AD - DE = 2 - DE$

$\frac{390}{49} = (2-DE)DE$

$390 = 49(2DE - DE^2)$

$49DE^2 - 98DE + 390 = 0$

$DE = AD - AE$となるから、メネラウスの定理を用いると

$\frac{CD}{DA} \cdot \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} = 1$

$\frac{BC}{CE} \cdot \frac{EA}{AD} \cdot \frac{DB}{BC} = 1$。これは使えない。

$\triangle ABE$で正弦定理を使う。$\frac{BE}{\sin 60^{\circ}} = \frac{AB}{\sin \angle AEB}$

$AE = AD - DE = 2 - DE$

$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}$が成り立つので，$AE:EC = 5:\sqrt{39}$

$AE = \frac{5}{5 + \sqrt{39}}AC = \frac{10}{5+\sqrt{39}} = \frac{10(5-\sqrt{39})}{25-39} = \frac{10(5-\sqrt{39})}{-14} = \frac{5(\sqrt{39}-5)}{7}$

$DE = AD - AE = 2 - \frac{5\sqrt{39}-25}{7} = \frac{14 - 5\sqrt{39} + 25}{7} = \frac{39 - 5\sqrt{39}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = 120^{\circ}$, 面積: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

(2) 外接円の半径: $\sqrt{13}$

(3) (i) $BD = \sqrt{39}$, $AD = 2$

(ii) $DE = \frac{39 - 5\sqrt{39}}{7}$