空間ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が与えられたとき、以下の等式が成り立つかどうかを判定する問題です。 (1) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$ (2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ (3) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ (4) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$

1. 問題の内容

空間ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が与えられたとき、以下の等式が成り立つかどうかを判定する問題です。

(1) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$

(2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$

(3) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$

(4) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$

2. 解き方の手順

(1) スカラー三重積の性質より、 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}$ が成り立ちます。

(2) ベクトル三重積の公式より、

$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = - \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = - [ (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} ] = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$

したがって、$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ は成り立ちます。

(3) ベクトル三重積の公式より、

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$

問題文の式は、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ なので、$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$であるときにのみ成立します。一般には成立しません。

(4) ベクトル三重積の公式より、

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$

$\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$

$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}$

したがって、

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = [(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}] + [(\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}] + [(\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}] = \vec{0}$

したがって、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$ は成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) 2

(4) 1