与えられたベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ に対して、以下の等式が成り立つかどうかを判定する問題です。 (1) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$ (2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$ (3) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c}$ (4) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ に対して、以下の等式が成り立つかどうかを判定する問題です。

(1) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$

(2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$

(3) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c}$

(4) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$

2. 解き方の手順

(1) スカラー三重積の性質より、$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ となります。また、スカラー三重積は巡回的な置換に対して不変なので、$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$ が成り立ちます。したがって、$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$ は常に成り立ちます。

(2) ベクトル三重積の公式より、 $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = - \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = -[(\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}] = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a}$ となります。 $(\vec{c} \cdot \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})$ なので、$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$ は常に成り立ちます。

(3) ベクトル三重積の公式より、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ となります。したがって、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c}$は常に成り立ちます。

(4) ヤコビの恒等式より、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$ が常に成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1)

1. 〇

(2)

1. 〇

(3)

1. 〇

(4)

1. 〇