いくつかの図形問題が出題されています。各問題は円や三角形などの図形に関するもので、角度や線分の長さを求めるものです。具体的には、内角の二等分線、円に内接する四角形、方べきの定理、接線などがテーマになっています。

1. 問題の内容

いくつかの図形問題が出題されています。各問題は円や三角形などの図形に関するもので、角度や線分の長さを求めるものです。具体的には、内角の二等分線、円に内接する四角形、方べきの定理、接線などがテーマになっています。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $\triangle ABC$ において、$AB=2$, $AC=3$ であり、$\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とするとき、$BD:DC$ を求めます。これは内角の二等分線の性質を利用します。内角の二等分線定理より、$BD:DC = AB:AC$ となります。

(2) $\triangle ABC$ において、$AB=10$, $BC=12$, $CA=8$ であり、$\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とするとき、$BD$ を求めます。内角の二等分線定理より、$BD:DC = AB:AC = 10:8 = 5:4$ です。$BC = 12$ なので、$BD = \frac{5}{5+4} \times BC = \frac{5}{9} \times 12 = \frac{20}{3}$ となります。

(3) $\triangle ABC$ の外接円が点 $A$ で直線 $TT'$ に接しており、$\angle TAC = 55^{\circ}$ であるとき、$\angle ABC$ を求めます。接弦定理より、$\angle ABC = \angle TAC$ となります。

(4) $\triangle ABC$ の外接円が点 $A$ で直線 $TT'$ に接しており、$\angle BAC = 75^{\circ}$, $\angle T'AB = 50^{\circ}$ であるとき、$\angle ABC$ を求めます。接弦定理より、$\angle ACB = \angle T'AB = 50^{\circ}$ です。$\triangle ABC$ の内角の和は $180^{\circ}$ なので、$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 50^{\circ} = 55^{\circ}$ となります。

(5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とするとき、$PA=4$, $PB=5$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求めます。方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ となります。

(6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とするとき、$PA = \sqrt{3}$, $PC = 3$, $PD = 4$ であるとき、$PB$ を求めます。方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ となります。

(1') 四角形 $ABCD$ が円に内接し、点 $C$ で直線 $TT'$ に接しており、$\angle BAD = 110^{\circ}$, $\angle DCT' = 50^{\circ}$ であるとき、$\angle BDC$ を求めます。$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ です。接弦定理より、$\angle CAD = \angle DCT' = 50^{\circ}$ です。よって、$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 110^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}$ となります。また、円周角の定理より$\angle BDC = \angle BAC = 60^\circ$となります。

(2') 四角形 $ABCD$ が円に内接し、点 $C$ で直線 $TT'$ に接しており、$\angle BDC = 70^{\circ}$, $\angle DCT' = 30^{\circ}$ であるとき、$\angle BAD$ を求めます。接弦定理より、$\angle DAC = \angle DCT' = 30^{\circ}$ です。円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC = 70^{\circ}$ です。$\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 70^{\circ} + 30^{\circ} = 100^{\circ}$ となります。

(3') 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、直線 $AB, CD$ の交点を $P$ とするとき、$PA = 12$, $PB = 5$, $CD = 1$ であるとき、$PC$ を求めます。方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ です。$PD = PC + CD = PC + 1$ なので、$12 \cdot 5 = PC \cdot (PC + 1)$ となり、$PC^2 + PC - 60 = 0$ を解きます。$(PC - 7)(PC + 8) = 0$ となるので、$PC = 7$ となります。

(4') 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、直線 $AB, CD$ の交点を $P$ とするとき、$PB = AB$, $PC = 5$, $CD = 3$ であるとき、$AB$ を求めます。方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ です。$PA = PB + AB = 2AB$, $PD = PC + CD = 5 + 3 = 8$ なので、$2AB \cdot AB = 5 \cdot 8$ となり、$2AB^2 = 40$, $AB^2 = 20$, $AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ となります。

(5') 半径が3の円に点 $P$ から接線 $PA$ を引き、円の中心を $O$ とするとき、線分 $PO$ と円との交点を $B$ とします。$PA = 4$ のとき、$PB$ を求めます。$OA=3$なので、$PO = \sqrt{PA^2 + OA^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$. $PB = PO - BO = 5 - 3 = 2$ となります.

3. 最終的な答え

(1) 2 : 3

(2) 20/3

(3) 55

(4) 55

(5) 20

(6) $4\sqrt{3}/3$

(1') 60

(2') 100

(3') 7

(4') $2\sqrt{5}$

(5') 2