直角三角形ABCにおいて、∠A = 30°, ∠B = 90°, BC = 1である。辺AB上に∠CDB = 45°となるように点Dをとる。また、直線ABと点Aで接し、点Cを通る円と直線CDの交点をEとする。 (1) 線分ADの長さを求めよ。また、∠DAEの大きさを求めよ。 (2) 線分AEの長さを求めよ。 (3) 弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pをとる。△ACPの面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠A = 30°, ∠B = 90°, BC = 1である。辺AB上に∠CDB = 45°となるように点Dをとる。また、直線ABと点Aで接し、点Cを通る円と直線CDの交点をEとする。

(1) 線分ADの長さを求めよ。また、∠DAEの大きさを求めよ。

(2) 線分AEの長さを求めよ。

(3) 弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pをとる。△ACPの面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、△BCDについて考える。∠CDB = 45°, ∠B = 90°より、∠BCD = 180° - 90° - 45° = 45°である。したがって、△BCDは直角二等辺三角形である。

BC = 1なので、BD = BC = 1である。

次に、△ABCについて考える。∠A = 30°, ∠B = 90°より、tan30° = $\frac{BC}{AB}$である。

tan30° = $\frac{1}{\sqrt{3}}$なので、$\frac{1}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$となり、AB = $\sqrt{3}$である。

AD = AB - BD = $\sqrt{3}$ - 1である。

よって、AD = $\sqrt{3}$ - 1となる。

次に、∠DAEを求める。円と直線ABは点Aで接するので、接弦定理より、∠DAE = ∠ACEである。

また、∠ACD = ∠ACB - ∠BCDである。

∠ACB = 180° - 90° - 30° = 60°である。

∠BCD = 45°なので、∠ACD = 60° - 45° = 15°となる。

∠DAE = ∠ACE = ∠ACD = 15°である。

よって、∠DAE = 15°となる。

(2)

△ADEについて、正弦定理を用いる。

$\frac{AE}{\sin(\angle ADE)} = \frac{AD}{\sin(\angle AED)}$

∠ADE = 180° - ∠CDB = 180° - 45° = 135°である。

∠AED = ∠ACD = 15°（円周角の定理）

$\frac{AE}{\sin(135^\circ)} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin(15^\circ)}$

$\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$AE = \frac{(\sqrt{3}-1) \sin(135^\circ)}{\sin(15^\circ)} = \frac{(\sqrt{3}-1) \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}$

$AE = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\ (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\ (\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{18}+\sqrt{6}-\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{2\sqrt{2}(3\sqrt{2}-\sqrt{2})}{4} = \frac{2\sqrt{2}(2\sqrt{2})}{4} = \frac{8}{4} = 2$

よって、AE = 2となる。

(3)

△ACPの面積が最大となるのは、点Pが弦ACから最も遠いときである。それは、点Pが円弧ACの中点であるときである。このとき、AP=CPとなる。

△ACPの面積 = $\frac{1}{2}AC \times h$,ここでhは点PからACまでの距離である。

∠BAC = 30°, BC = 1より、AC = $\frac{BC}{\sin{30}} = \frac{1}{1/2} = 2$.

ACを底辺とすると、高さが最大になるのは、点Pが円弧ACの中点の時。

円の中心をOとする。

∠AOC = 2∠ABC = 2(60) = 120度

AP = CPの場合、点Pは弧ACの中点。

したがって、∠AOP=60度となり、△AOPは正三角形である。

したがってOP=OA=OC

よって△ACPの最大面積は$\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

(1) AD = $\sqrt{3}$ - 1, ∠DAE = 15°

(2) AE = 2

(3) $\sqrt{3}$