点Pは直線 $y = x + 4$ 上の点であり、点Aはx軸上の点である。$PO = PA$ が成り立つとき、三角形POAの面積が45 $cm^2$となる点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

点Pは直線 $y = x + 4$ 上の点であり、点Aはx軸上の点である。$PO = PA$ が成り立つとき、三角形POAの面積が45 $cm^2$となる点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

点Aのx座標を $a$ とすると、点Aの座標は$(a, 0)$となる。

三角形POAの面積は $\frac{1}{2} \times OA \times (Pのy座標)$ で表される。

$OA = a$ なので、面積の式は $\frac{1}{2} \times a \times (Pのy座標) = 45$ となる。

したがって、$Pのy座標 = \frac{90}{a}$ となる。

点Pは直線 $y = x + 4$ 上にあるので、$Pの座標を (x, x+4)$ とおける。

$Pのy座標 = x+4$ なので、$x+4 = \frac{90}{a}$ となる。

したがって、$x = \frac{90}{a} - 4$ となる。

点Pの座標は $(\frac{90}{a} - 4, \frac{90}{a})$ となる。

$PO = PA$ より、$PO^2 = PA^2$ が成り立つ。

$PO^2 = (\frac{90}{a} - 4)^2 + (\frac{90}{a})^2$

$PA^2 = (a - (\frac{90}{a} - 4))^2 + (0 - \frac{90}{a})^2 = (a - \frac{90}{a} + 4)^2 + (\frac{90}{a})^2$

$PO^2 = PA^2$ より、

$(\frac{90}{a} - 4)^2 + (\frac{90}{a})^2 = (a - \frac{90}{a} + 4)^2 + (\frac{90}{a})^2$

$(\frac{90}{a} - 4)^2 = (a - \frac{90}{a} + 4)^2$

$\frac{90}{a} - 4 = a - \frac{90}{a} + 4$ または $\frac{90}{a} - 4 = -(a - \frac{90}{a} + 4)$

Case 1: $\frac{90}{a} - 4 = a - \frac{90}{a} + 4$

$\frac{180}{a} = a + 8$

$180 = a^2 + 8a$

$a^2 + 8a - 180 = 0$

$(a - 10)(a + 18) = 0$

$a = 10$ or $a = -18$

$a > 0$ より $a = 10$

$x = \frac{90}{10} - 4 = 9 - 4 = 5$

$P = (5, 9)$

Case 2: $\frac{90}{a} - 4 = -(a - \frac{90}{a} + 4)$

$\frac{90}{a} - 4 = -a + \frac{90}{a} - 4$

$0 = -a$

$a = 0$　これはありえない

したがって、点Pの座標は $(5, 9)$ である。

3. 最終的な答え

(5, 9)