袋の中に赤玉が3個、白玉が4個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、取り出した2個の玉が同じ色である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が3個、白玉が4個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、取り出した2個の玉が同じ色である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2個の玉を取り出すすべての組み合わせの数を求める。これは、全部で7個の玉の中から2個を選ぶ組み合わせなので、$_{7}C_{2}$ で表される。

次に、2個の玉が同じ色である場合を考える。これは、2個とも赤玉である場合と、2個とも白玉である場合の2つがある。

- 2個とも赤玉である確率は、赤玉3個の中から2個を選ぶ組み合わせなので、$_{3}C_{2}$ で表される。

- 2個とも白玉である確率は、白玉4個の中から2個を選ぶ組み合わせなので、$_{4}C_{2}$ で表される。

したがって、2個とも同じ色である組み合わせの数は、$_{3}C_{2} + _{4}C_{2}$ で表される。

求める確率は、2個とも同じ色である組み合わせの数を、すべての組み合わせの数で割ったものになる。

すべての組み合わせの数は、

$_{7}C_{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

2個とも赤玉である組み合わせの数は、

$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$

2個とも白玉である組み合わせの数は、

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

2個とも同じ色である組み合わせの数は、

$3 + 6 = 9$

したがって、求める確率は、

$\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{7}$