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与えられた分数の分母を有理化する問題です。 具体的には、$\frac{5}{\sqrt{2} + 1}$ を計算し、分母に根号を含まない形に変形します。

代数学分母の有理化根号式の計算
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。
具体的には、52+1\frac{5}{\sqrt{2} + 1} を計算し、分母に根号を含まない形に変形します。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うには、分母の共役な複素数を分子と分母に掛けます。
分母が 2+1\sqrt{2} + 1 なので、共役な数は 2−1\sqrt{2} - 1 です。
したがって、分子と分母に 2−1\sqrt{2} - 1 を掛けます。
52+1=5(2−1)(2+1)(2−1)\frac{5}{\sqrt{2} + 1} = \frac{5(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}
分母を展開します。
(2+1)(2−1)=(2)2−12=2−1=1(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1
したがって、
5(2−1)(2+1)(2−1)=5(2−1)1=5(2−1)\frac{5(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{5(\sqrt{2} - 1)}{1} = 5(\sqrt{2} - 1)
分子を展開します。
5(2−1)=52−55(\sqrt{2} - 1) = 5\sqrt{2} - 5

3. 最終的な答え

52−55\sqrt{2} - 5

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