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与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、$\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$を計算し、分母に根号を含まない形に変形します。

代数学分母の有理化平方根式の計算
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、65−3\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}を計算し、分母に根号を含まない形に変形します。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うためには、分母の共役な複素数を分子と分母に掛けます。
この場合、分母5−3\sqrt{5} - \sqrt{3}の共役な複素数は5+3\sqrt{5} + \sqrt{3}です。
したがって、分子と分母に5+3\sqrt{5} + \sqrt{3}を掛けます。
65−3=6(5+3)(5−3)(5+3)\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}
分母を展開します。
(5−3)(5+3)=(5)2−(3)2=5−3=2(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2
したがって、
6(5+3)2=3(5+3)=35+33\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = 3(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{3}

3. 最終的な答え

35+333\sqrt{5} + 3\sqrt{3}

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