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与えられた数式の分母を有理化する問題です。 数式は $\frac{5}{\sqrt{2} + 1}$ です。

代数学有理化根号式の計算
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた数式の分母を有理化する問題です。
数式は 52+1\frac{5}{\sqrt{2} + 1} です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母の共役な複素数を分母と分子の両方に掛けます。今回の場合は、分母は 2+1\sqrt{2} + 1 なので、共役な数は 2−1\sqrt{2} - 1 となります。
52+1=5(2−1)(2+1)(2−1)\frac{5}{\sqrt{2} + 1} = \frac{5(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}
分母を展開します。
(2+1)(2−1)=(2)2−12=2−1=1(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1
したがって、
5(2−1)1=5(2−1)=52−5\frac{5(\sqrt{2} - 1)}{1} = 5(\sqrt{2} - 1) = 5\sqrt{2} - 5

3. 最終的な答え

52−55\sqrt{2} - 5

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