直線 $y = 2ax + a^2$ ...(1) について、$a$ がすべての実数値をとって変化するとき、直線(1)が通りうる領域を図示せよ。

1. 問題の内容

直線 $y = 2ax + a^2$ ...(1) について、$a$ がすべての実数値をとって変化するとき、直線(1)が通りうる領域を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)を $a$ についての2次方程式とみて整理します。

$a^2 + 2xa - y = 0$ ...(2)

$a$ がすべての実数値をとって変化するので、(2)が実数解を持つ必要があります。

したがって、(2)の判別式を $D$ とすると、$D \geq 0$ となります。

$D/4 = x^2 - (-y) = x^2 + y$

$x^2 + y \geq 0$

$y \geq -x^2$

次に、$y = -x^2$ 上の点を通ることを確認します。

$y = -x^2$ のとき、$a^2 + 2xa + x^2 = 0$ となり、$(a+x)^2 = 0$ より $a = -x$ となります。

これは実数解を持つので、$y = -x^2$ 上の点も直線(1)が通りうる領域に含まれます。

3. 最終的な答え

$y \geq -x^2$ で表される領域。境界を含む。