放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

元の放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を、x軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - q = -2(x - p)^2 + 3(x - p) + 1$

と表せる。これを整理すると、

$y = -2(x^2 - 2px + p^2) + 3x - 3p + 1 + q$

$y = -2x^2 + 4px - 2p^2 + 3x - 3p + 1 + q$

$y = -2x^2 + (4p + 3)x - 2p^2 - 3p + 1 + q$

この放物線が2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るので、それぞれの座標を代入する。

点 $(-2, 0)$ を代入すると、

$0 = -2(-2)^2 + (4p + 3)(-2) - 2p^2 - 3p + 1 + q$

$0 = -8 - 8p - 6 - 2p^2 - 3p + 1 + q$

$0 = -2p^2 - 11p - 13 + q$

$q = 2p^2 + 11p + 13$ ...(1)

点 $(1, 12)$ を代入すると、

$12 = -2(1)^2 + (4p + 3)(1) - 2p^2 - 3p + 1 + q$

$12 = -2 + 4p + 3 - 2p^2 - 3p + 1 + q$

$12 = -2p^2 + p + 2 + q$

$q = 2p^2 - p + 10$ ...(2)

(1)と(2)より、

$2p^2 + 11p + 13 = 2p^2 - p + 10$

$12p = -3$

$p = -\frac{1}{4}$

これを(2)に代入すると、

$q = 2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 10$

$q = 2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 10$

$q = \frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{80}{8}$

$q = \frac{83}{8}$

したがって、放物線の方程式は、

$y = -2x^2 + (4(-\frac{1}{4}) + 3)x - 2(-\frac{1}{4})^2 - 3(-\frac{1}{4}) + 1 + \frac{83}{8}$

$y = -2x^2 + (-1 + 3)x - 2(\frac{1}{16}) + \frac{3}{4} + 1 + \frac{83}{8}$

$y = -2x^2 + 2x - \frac{1}{8} + \frac{6}{8} + \frac{8}{8} + \frac{83}{8}$

$y = -2x^2 + 2x + \frac{96}{8}$

$y = -2x^2 + 2x + 12$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 2x + 12$