$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 + 6x + 5$ ($a \le x \le a+2$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 + 6x + 5$ ($a \le x \le a+2$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 6x + 5 = (x+3)^2 - 4$

この関数は、頂点が $(-3, -4)$ の下に凸な放物線です。定義域が $a \le x \le a+2$ であることに注意して、最小値を求めます。

(1) $a+2 < -3$ つまり $a < -5$ のとき

定義域は頂点よりも右側にあるので、$x=a+2$ のとき最小値をとります。

最小値は $y = (a+2)^2 + 6(a+2) + 5 = a^2 + 4a + 4 + 6a + 12 + 5 = a^2 + 10a + 21$

(2) $a \le -3 \le a+2$ つまり $-5 \le a \le -3$ のとき

定義域に頂点が含まれるので、$x=-3$ のとき最小値をとります。

最小値は $y = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$

(3) $-3 < a$ のとき

定義域は頂点よりも左側にあるので、$x=a$ のとき最小値をとります。

最小値は $y = a^2 + 6a + 5$

まとめると、

(1) $a < -5$ のとき、最小値は $a^2 + 10a + 21$

(2) $-5 \le a \le -3$ のとき、最小値は $-4$

(3) $-3 < a$ のとき、最小値は $a^2 + 6a + 5$

3. 最終的な答え

$a < -5$ のとき、最小値は $a^2 + 10a + 21$

$-5 \le a \le -3$ のとき、最小値は $-4$

$-3 < a$ のとき、最小値は $a^2 + 6a + 5$