(3) 二等辺三角形ABCにおいて、$AC = BC$、$∠A = 50^\circ$である。$∠B = x$、$∠ACB = y$を求める問題。 (4) 四角形ABCDにおいて、対角線の交点をEとする。$∠DAE = 45^\circ$、$∠ABE = 85^\circ$、$∠BCE = 45^\circ$、$∠ADE = x$を求める問題。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(3) 二等辺三角形ABCにおいて、$AC = BC$、$∠A = 50^\circ$である。$∠B = x$、$∠ACB = y$を求める問題。

(4) 四角形ABCDにおいて、対角線の交点をEとする。$∠DAE = 45^\circ$、$∠ABE = 85^\circ$、$∠BCE = 45^\circ$、$∠ADE = x$を求める問題。

2. 解き方の手順

(3)

三角形ABCは$AC = BC$の二等辺三角形なので、$∠A = ∠B$である。

したがって、$x = 50^\circ$である。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ$となる。

$50^\circ + 50^\circ + y = 180^\circ$より、$y = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$となる。

(4)

三角形ABEにおいて、$∠AEB = 180^\circ - (∠BAE + ∠ABE)$である。

$∠BAE = ∠BAD - ∠DAE$であり、$∠BAD$は不明なので、別の方法で考える。

三角形BECにおいて、$∠BEC = 180^\circ - (∠EBC + ∠BCE)$である。

$∠EBC = ∠ABC - ∠ABE$であり、$∠ABC$は不明なので、別の方法で考える。

四角形の内角の和は$360^\circ$なので、$∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^\circ$となる。

$∠A = ∠DAE + ∠BAC$、$∠B = ∠ABE + ∠CBD$、$∠C = ∠BCE + ∠DCA$、$∠D = ∠ADE + ∠CDB$である。

三角形ADCにおいて、$∠DAC = 45^\circ$なので、$∠ADC + ∠DCA + 45^\circ = 180^\circ$となる。

$x + ∠DCA = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

三角形ABCにおいて、$∠ABC = 85^\circ$、$∠BCA = 45^\circ$なので、$∠BAC = 180^\circ - (85^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$となる。

したがって、$∠DAC + ∠CAB = 45^\circ + 50^\circ = 95^\circ$

三角形BCDにおいて、$∠DBC = 180^\circ - (45^\circ + x + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ - x$である。

四角形ABCDにおいて、$∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^\circ$なので、

$95^\circ + 85^\circ + 45^\circ + x + 135^\circ = 360^\circ$

$∠ADC + ∠DCB + ∠CBA + ∠BAD = 360°$

$x + 45° + 85° + 45° = 360°$

三角形ADCの角度の和 $∠DAC +∠DCA +∠ADC = 180°$

$∠DCA +45°+x= 180°$

$∠DCA = 135°-x$

三角形ABCの角度の和 $∠BAC +∠BCA +∠CBA = 180°$

$∠BAC+45°+85°=180°$

$∠BAC+130°=180°$

$∠BAC=50°$

$∠BAD = 45°+50°=95°$

よって、

$x + (135-x) + 50 + 85 = 360$

$x+85+45 =130$

四角形の内角の和は360°だから、

$∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°$

$∠DAB = 45° + (180° - (85° + 45°)) = 45° + 50° = 95°$

$∠BCD = 45° + ∠DCA$

$∠CDA = x$

したがって、$95° + 85° + (45° + ∠DCA) + x = 360°$

$225° + ∠DCA + x = 360°$

$∠DCA + x = 135°$

三角形ADCで考えると、$∠DAC + ∠DCA + x = 180°$

$45° + ∠DCA + x = 180°$

$∠DCA + x = 135°$

これより、$x = 35^\circ$となる。

3. 最終的な答え

(3) $x = 50^\circ$, $y = 80^\circ$

(4) $x = 35^\circ$