正の奇数の列を、$n$ 番目の群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、$n$ 番目の群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

第 $n$ 群の最初の数を求める。

まず、第 $n-1$ 群までの項数を求める。

第1群から第 $n-1$ 群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ である。

これは、正の奇数列の第 $\frac{(n-1)n}{2}$ 項までが含まれることを意味する。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、正の奇数列の第 $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 項である。

正の奇数列の第 $k$ 項は $2k - 1$ で表されるので、

第 $n$ 群の最初の数は

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

である。

(2)

第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第15群の最初の数は、(1)より $15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$ である。

第15群には15個の数が入るので、第15群の最後の数は、

正の奇数列の第 $\frac{(15-1)15}{2} + 15 = \frac{14 \times 15}{2} + 15 = 7 \times 15 + 15 = 105 + 15 = 120$ 番目である。

この数は $2 \times 120 - 1 = 240 - 1 = 239$ である。

したがって、第15群の数列は、初項が211、末項が239、項数が15の等差数列である。

等差数列の和の公式より、

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S = \frac{15(211 + 239)}{2} = \frac{15(450)}{2} = 15 \times 225 = 3375$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数は $n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ は 3375