$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ のとき、以下の値を求める問題です。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ のとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta \cos \theta$ の値を求める。

与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\sqrt{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 2$

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = 2$

$2\sin \theta \cos \theta = 1$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。

因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$ を代入する。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sqrt{2})(1 - \frac{1}{2})$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$