## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた6つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$

(2) $\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$

(3) $\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8 + x^2}$

(4) $\int_{1}^{e} x^2 (\log x - 1) dx$

(5) $\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx$

(6) $\int_{0}^{2\pi} x^2 |\sin x| dx$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$**

$\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x$ と変形します。

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。積分範囲は、$x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して、$u: 0 \to 1$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = \int_{0}^{1} (1 - u^2) du = [u - \frac{u^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

**(2) $\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$**

部分積分を行います。

$u = x, dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx, v = -\cos x$ となります。

$\int_{0}^{\pi} x \sin x dx = [-x \cos x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos x) dx = [-\pi \cos \pi - 0] + [\sin x]_{0}^{\pi} = [-\pi (-1)] + [0 - 0] = \pi$

**(3) $\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8 + x^2}$**

$\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。

$a^2 = 8$ より、$a = 2\sqrt{2}$ です。

$\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8 + x^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} [\arctan(\frac{x}{2\sqrt{2}})]_{0}^{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} [\arctan(1) - \arctan(0)] = \frac{1}{2\sqrt{2}} [\frac{\pi}{4} - 0] = \frac{\pi}{8\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{16}$

**(4) $\int_{1}^{e} x^2 (\log x - 1) dx$**

部分積分を行います。

$\int_{1}^{e} x^2 \log x dx - \int_{1}^{e} x^2 dx$

まず、$\int_{1}^{e} x^2 \log x dx$ を計算します。

$u = \log x, dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{x^3}{3}$ となります。

$\int_{1}^{e} x^2 \log x dx = [\frac{x^3}{3} \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{e^3}{3} \log e - \frac{1^3}{3} \log 1] - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^2 dx = [\frac{e^3}{3} - 0] - \frac{1}{3} [\frac{x^3}{3}]_{1}^{e} = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{9} [e^3 - 1] = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}$

次に、$\int_{1}^{e} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{1}^{e} = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{3}$

したがって、$\int_{1}^{e} x^2 (\log x - 1) dx = (\frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}) - (\frac{e^3}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{2e^3}{9} - \frac{3e^3}{9} + \frac{1}{9} + \frac{3}{9} = -\frac{e^3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{4 - e^3}{9}$

**(5) $\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx$**

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ と変形できます。

$\sin x + \cos x = 0$ となるのは、$x = \frac{3\pi}{4}$ のときです。

$\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} (\sin x + \cos x) dx = [\frac{3\pi}{4}] (-\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} (-\sin x - \cos x) dx = [-\cos x + \sin x]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} - [-\cos x + \sin x]_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}$

$= [-\cos(\frac{3\pi}{4}) + \sin(\frac{3\pi}{4})] - [-\cos(0) + \sin(0)] + [-(\cos \pi + \sin \pi) + (\cos \frac{3\pi}{4} + \sin \frac{3\pi}{4})] = [\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}] - [-1 + 0] + [-(-1) + 0 - (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})] = \sqrt{2} + 1 + 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

**(6) $\int_{0}^{2\pi} x^2 |\sin x| dx$**

$\sin x$ は $[0, \pi]$ で正、$[\pi, 2\pi]$ で負なので、積分範囲を分割します。

$\int_{0}^{2\pi} x^2 |\sin x| dx = \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx + \int_{\pi}^{2\pi} x^2 (-\sin x) dx = \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx - \int_{\pi}^{2\pi} x^2 \sin x dx$

部分積分を2回行います。

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx = -x^2 \cos x + 2(x \sin x - \int \sin x dx) = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$

$\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx = [-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x]_{0}^{\pi} = [-\pi^2 \cos \pi + 2\pi \sin \pi + 2\cos \pi] - [0 + 0 + 2\cos 0] = [-\pi^2(-1) + 0 + 2(-1)] - [2] = \pi^2 - 2 - 2 = \pi^2 - 4$

$\int_{\pi}^{2\pi} x^2 \sin x dx = [-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x]_{\pi}^{2\pi} = [-(2\pi)^2 \cos 2\pi + 2(2\pi) \sin 2\pi + 2\cos 2\pi] - [-\pi^2 \cos \pi + 2\pi \sin \pi + 2\cos \pi] = [-4\pi^2 + 0 + 2] - [\pi^2 + 0 - 2] = -4\pi^2 + 2 - \pi^2 + 2 = -5\pi^2 + 4$

したがって、$\int_{0}^{2\pi} x^2 |\sin x| dx = (\pi^2 - 4) - (-5\pi^2 + 4) = \pi^2 - 4 + 5\pi^2 - 4 = 6\pi^2 - 8$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $\pi$

(3) $\frac{\pi\sqrt{2}}{16}$

(4) $\frac{4 - e^3}{9}$

(5) $2\sqrt{2}$

(6) $6\pi^2 - 8$