## 1. 問題の内容

解析学定積分三角関数部分積分置換積分絶対値積分
2025/7/9
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1. 問題の内容

与えられた6つの定積分を計算します。
(1) 0π2cos3xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx
(2) 0πxsinxdx\int_{0}^{\pi} x \sin x dx
(3) 022dx8+x2\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8 + x^2}
(4) 1ex2(logx1)dx\int_{1}^{e} x^2 (\log x - 1) dx
(5) 0πsinx+cosxdx\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx
(6) 02πx2sinxdx\int_{0}^{2\pi} x^2 |\sin x| dx
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2. 解き方の手順

**(1) 0π2cos3xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx**
cos3x=cos2xcosx=(1sin2x)cosx\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x と変形します。
u=sinxu = \sin x と置換すると、du=cosxdxdu = \cos x dx となります。積分範囲は、x:0π2x: 0 \to \frac{\pi}{2} に対して、u:01u: 0 \to 1 となります。
したがって、
0π2cos3xdx=01(1u2)du=[uu33]01=113=23\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = \int_{0}^{1} (1 - u^2) du = [u - \frac{u^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
**(2) 0πxsinxdx\int_{0}^{\pi} x \sin x dx**
部分積分を行います。
u=x,dv=sinxdxu = x, dv = \sin x dx とすると、du=dx,v=cosxdu = dx, v = -\cos x となります。
0πxsinxdx=[xcosx]0π0π(cosx)dx=[πcosπ0]+[sinx]0π=[π(1)]+[00]=π\int_{0}^{\pi} x \sin x dx = [-x \cos x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos x) dx = [-\pi \cos \pi - 0] + [\sin x]_{0}^{\pi} = [-\pi (-1)] + [0 - 0] = \pi
**(3) 022dx8+x2\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8 + x^2}**
dxa2+x2=1aarctan(xa)+C\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C を利用します。
a2=8a^2 = 8 より、a=22a = 2\sqrt{2} です。
022dx8+x2=122[arctan(x22)]022=122[arctan(1)arctan(0)]=122[π40]=π82=π216\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8 + x^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} [\arctan(\frac{x}{2\sqrt{2}})]_{0}^{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} [\arctan(1) - \arctan(0)] = \frac{1}{2\sqrt{2}} [\frac{\pi}{4} - 0] = \frac{\pi}{8\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{16}
**(4) 1ex2(logx1)dx\int_{1}^{e} x^2 (\log x - 1) dx**
部分積分を行います。
1ex2logxdx1ex2dx\int_{1}^{e} x^2 \log x dx - \int_{1}^{e} x^2 dx
まず、1ex2logxdx\int_{1}^{e} x^2 \log x dx を計算します。
u=logx,dv=x2dxu = \log x, dv = x^2 dx とすると、du=1xdx,v=x33du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{x^3}{3} となります。
1ex2logxdx=[x33logx]1e1ex331xdx=[e33loge133log1]131ex2dx=[e330]13[x33]1e=e3319[e31]=e33e39+19=2e39+19\int_{1}^{e} x^2 \log x dx = [\frac{x^3}{3} \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{e^3}{3} \log e - \frac{1^3}{3} \log 1] - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^2 dx = [\frac{e^3}{3} - 0] - \frac{1}{3} [\frac{x^3}{3}]_{1}^{e} = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{9} [e^3 - 1] = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}
次に、1ex2dx=[x33]1e=e3313\int_{1}^{e} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{1}^{e} = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{3}
したがって、1ex2(logx1)dx=(2e39+19)(e3313)=2e393e39+19+39=e39+49=4e39\int_{1}^{e} x^2 (\log x - 1) dx = (\frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}) - (\frac{e^3}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{2e^3}{9} - \frac{3e^3}{9} + \frac{1}{9} + \frac{3}{9} = -\frac{e^3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{4 - e^3}{9}
**(5) 0πsinx+cosxdx\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx**
sinx+cosx=2sin(x+π4)\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) と変形できます。
sinx+cosx=0\sin x + \cos x = 0 となるのは、x=3π4x = \frac{3\pi}{4} のときです。
0πsinx+cosxdx=03π4(sinx+cosx)dx=[3π4](sinxcosx)dx+3π4π(sinxcosx)dx=[cosx+sinx]03π4[cosx+sinx]3π4π\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} (\sin x + \cos x) dx = [\frac{3\pi}{4}] (-\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} (-\sin x - \cos x) dx = [-\cos x + \sin x]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} - [-\cos x + \sin x]_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}
=[cos(3π4)+sin(3π4)][cos(0)+sin(0)]+[(cosπ+sinπ)+(cos3π4+sin3π4)]=[22+22][1+0]+[(1)+0(22+22)]=2+1+1+2=22= [-\cos(\frac{3\pi}{4}) + \sin(\frac{3\pi}{4})] - [-\cos(0) + \sin(0)] + [-(\cos \pi + \sin \pi) + (\cos \frac{3\pi}{4} + \sin \frac{3\pi}{4})] = [\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}] - [-1 + 0] + [-(-1) + 0 - (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})] = \sqrt{2} + 1 + 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
**(6) 02πx2sinxdx\int_{0}^{2\pi} x^2 |\sin x| dx**
sinx\sin x[0,π][0, \pi] で正、[π,2π][\pi, 2\pi] で負なので、積分範囲を分割します。
02πx2sinxdx=0πx2sinxdx+π2πx2(sinx)dx=0πx2sinxdxπ2πx2sinxdx\int_{0}^{2\pi} x^2 |\sin x| dx = \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx + \int_{\pi}^{2\pi} x^2 (-\sin x) dx = \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx - \int_{\pi}^{2\pi} x^2 \sin x dx
部分積分を2回行います。
x2sinxdx=x2cosx+2xcosxdx=x2cosx+2(xsinxsinxdx)=x2cosx+2xsinx+2cosx+C\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx = -x^2 \cos x + 2(x \sin x - \int \sin x dx) = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C
0πx2sinxdx=[x2cosx+2xsinx+2cosx]0π=[π2cosπ+2πsinπ+2cosπ][0+0+2cos0]=[π2(1)+0+2(1)][2]=π222=π24\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx = [-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x]_{0}^{\pi} = [-\pi^2 \cos \pi + 2\pi \sin \pi + 2\cos \pi] - [0 + 0 + 2\cos 0] = [-\pi^2(-1) + 0 + 2(-1)] - [2] = \pi^2 - 2 - 2 = \pi^2 - 4
π2πx2sinxdx=[x2cosx+2xsinx+2cosx]π2π=[(2π)2cos2π+2(2π)sin2π+2cos2π][π2cosπ+2πsinπ+2cosπ]=[4π2+0+2][π2+02]=4π2+2π2+2=5π2+4\int_{\pi}^{2\pi} x^2 \sin x dx = [-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x]_{\pi}^{2\pi} = [-(2\pi)^2 \cos 2\pi + 2(2\pi) \sin 2\pi + 2\cos 2\pi] - [-\pi^2 \cos \pi + 2\pi \sin \pi + 2\cos \pi] = [-4\pi^2 + 0 + 2] - [\pi^2 + 0 - 2] = -4\pi^2 + 2 - \pi^2 + 2 = -5\pi^2 + 4
したがって、02πx2sinxdx=(π24)(5π2+4)=π24+5π24=6π28\int_{0}^{2\pi} x^2 |\sin x| dx = (\pi^2 - 4) - (-5\pi^2 + 4) = \pi^2 - 4 + 5\pi^2 - 4 = 6\pi^2 - 8
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3. 最終的な答え

(1) 23\frac{2}{3}
(2) π\pi
(3) π216\frac{\pi\sqrt{2}}{16}
(4) 4e39\frac{4 - e^3}{9}
(5) 222\sqrt{2}
(6) 6π286\pi^2 - 8

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