与えられた関数 $f(x) = \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2}$ の不定積分を求めます。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2}$ の不定積分を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$e^x + e^{-x} = 2\cosh x$ であることを利用して、関数を変形します。

$f(x) = \frac{2}{(2\cosh x)^2} = \frac{2}{4\cosh^2 x} = \frac{1}{2\cosh^2 x}$

ここで、$\cosh^2 x = \frac{1}{2}(1+\cosh(2x))$を用いることもできますが、ここでは別の方法で積分します。

不定積分を求めるために、$\int \frac{1}{\cosh^2 x} dx$ を計算します。

$\frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x = \frac{d}{dx} \tanh x$

よって、

$\int \frac{1}{\cosh^2 x} dx = \tanh x + C$

したがって、

$\int \frac{1}{2\cosh^2 x} dx = \frac{1}{2}\tanh x + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx = \frac{1}{2} \tanh x + C$

## 問題1 (2)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x \arctan x$ の不定積分を求めます。ここで、$\arctan x = \tan^{-1} x$です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$\int u dv = uv - \int v du$

$u = \arctan x$ と $dv = x dx$ とおくと、$du = \frac{1}{1+x^2}dx$、$v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx$

$\int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx$

$= \frac{1}{2}(x - \arctan x) + C$

よって、

$\int x \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \arctan x + C = \frac{x^2+1}{2}\arctan x - \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\int x \arctan x dx = \frac{x^2+1}{2}\arctan x - \frac{x}{2} + C$

## 問題2 (1)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{2x+7}{x^2+x-2}$ の不定積分を求めます。

2. 解き方の手順

分母を因数分解すると $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$ となるため、部分分数分解を行います。

$\frac{2x+7}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$

$2x+7 = A(x-1) + B(x+2)$

$x=1$ のとき $9 = 3B \implies B=3$

$x=-2$ のとき $3 = -3A \implies A=-1$

よって、

$\frac{2x+7}{x^2+x-2} = \frac{-1}{x+2} + \frac{3}{x-1}$

$\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx = \int (\frac{-1}{x+2} + \frac{3}{x-1}) dx = -\ln|x+2| + 3\ln|x-1| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx = -\ln|x+2| + 3\ln|x-1| + C = \ln|\frac{(x-1)^3}{x+2}|+C$

## 問題2 (2)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3}$ の不定積分を求めます。

2. 解き方の手順

まず分子を分母で割ります。

$x^4 + 2x^3 - 1 = (x^2+2x+3)(x^2 - 3) + 6x + 8$

よって、

$\frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} = x^2 - 3 + \frac{6x+8}{x^2+2x+3}$

$\int (x^2-3) dx = \frac{x^3}{3} - 3x + C$

$\int \frac{6x+8}{x^2+2x+3} dx = \int \frac{3(2x+2)+2}{x^2+2x+3} dx = 3 \int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx + 2 \int \frac{1}{x^2+2x+3} dx$

$x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2$

$3 \int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx = 3 \ln(x^2+2x+3) + C$

$2 \int \frac{1}{(x+1)^2+2} dx = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C = \sqrt{2} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

したがって、

$\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx = \frac{x^3}{3} - 3x + 3\ln(x^2+2x+3) + \sqrt{2} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx = \frac{x^3}{3} - 3x + 3\ln(x^2+2x+3) + \sqrt{2} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

## 問題2 (3)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{5x}{x^3-2x-4}$ の不定積分を求めます。

2. 解き方の手順

$x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)$と因数分解できます。

部分分数分解を行います。

$\frac{5x}{(x-2)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

$5x = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-2)$

$x=2$ のとき、$10 = A(4+4+2)=10A \implies A=1$

$5x = x^2+2x+2 + (Bx+C)(x-2) = x^2+2x+2 + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C = (1+B)x^2 + (2-2B+C)x + (2-2C)$

$1+B = 0 \implies B=-1$

$2-2B+C = 2+2+C = 4+C = 5 \implies C=1$

$2-2C = 2-2 = 0$

$\frac{5x}{(x-2)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x-2} + \frac{-x+1}{x^2+2x+2}$

$\int \frac{1}{x-2} dx = \ln|x-2| + C$

$\int \frac{-x+1}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(2x+2) + 2}{x^2+2x+2} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+2} dx + 2\int \frac{1}{x^2+2x+2} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + 2\int \frac{1}{(x+1)^2+1} dx = -\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2) + 2\arctan(x+1) + C$

したがって、

$\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx = \ln|x-2| - \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2) + 2\arctan(x+1) + C = \ln|\frac{x-2}{\sqrt{x^2+2x+2}}| + 2\arctan(x+1) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx = \ln|\frac{x-2}{\sqrt{x^2+2x+2}}| + 2\arctan(x+1) + C$