点A(1, 2)を通り、傾きが $m$ の直線を $l$ とする。直線 $l$ と放物線 $C: y = x^2$ で囲まれる部分の面積 $S$ が最小となるような定数 $m$ の値と、そのときの面積 $S$ の最小値を求める。
2025/7/9
1. 問題の内容
点A(1, 2)を通り、傾きが の直線を とする。直線 と放物線 で囲まれる部分の面積 が最小となるような定数 の値と、そのときの面積 の最小値を求める。
2. 解き方の手順
(1) 直線 の方程式を求める。
点(1, 2)を通り傾きが の直線の方程式は、
(2) 直線 と放物線 の交点の 座標を求める。
この2次方程式の解を , とすると、解と係数の関係より、
(3) 面積 を と を用いて表す。
(4) を を用いて表す。
(5) 面積 を を用いて表す。
(6) 面積 が最小となる の値を求める。
が最小となるのは、 が最小となるとき。
より、 のとき最小値4をとる。
(7) のときの面積 の最小値を求める。
のとき、
3. 最終的な答え
のとき、面積 は最小値 をとる。