点A(1, 2)を通り、傾きが $m$ の直線を $l$ とする。直線 $l$ と放物線 $C: y = x^2$ で囲まれる部分の面積 $S$ が最小となるような定数 $m$ の値と、そのときの面積 $S$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

点A(1, 2)を通り、傾きが $m$ の直線を $l$ とする。直線 $l$ と放物線 $C: y = x^2$ で囲まれる部分の面積 $S$ が最小となるような定数 $m$ の値と、そのときの面積 $S$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

点(1, 2)を通り傾きが $m$ の直線の方程式は、

$y - 2 = m(x - 1)$

$y = mx - m + 2$

(2) 直線 $l$ と放物線 $C$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 = mx - m + 2$

$x^2 - mx + m - 2 = 0$

この2次方程式の解を $\alpha$, $\beta$ $(\alpha < \beta)$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = m$

$\alpha \beta = m - 2$

(3) 面積 $S$ を $\alpha$ と $\beta$ を用いて表す。

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (mx - m + 2 - x^2) dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (-x^2 + mx - m + 2) dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} -(x - \alpha)(x - \beta) dx$

$S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

(4) $(\beta - \alpha)^2$ を $m$ を用いて表す。

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$

$(\beta - \alpha)^2 = m^2 - 4(m - 2)$

$(\beta - \alpha)^2 = m^2 - 4m + 8$

$(\beta - \alpha)^2 = (m - 2)^2 + 4$

(5) 面積 $S$ を $m$ を用いて表す。

$S = \frac{1}{6}((m - 2)^2 + 4)^{\frac{3}{2}}$

(6) 面積 $S$ が最小となる $m$ の値を求める。

$S$ が最小となるのは、$(m - 2)^2 + 4$ が最小となるとき。

$(m - 2)^2 \ge 0$ より、$m = 2$ のとき最小値4をとる。

(7) $m = 2$ のときの面積 $S$ の最小値を求める。

$m = 2$ のとき、

$S = \frac{1}{6}(0 + 4)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \cdot (2^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \cdot 2^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$m = 2$ のとき、面積 $S$ は最小値 $\frac{4}{3}$ をとる。