与えられた積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1-x$ と置くと、$du = -dx$ となり、$dx = -du$ となります。

これらを積分に代入すると、

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = \int \frac{-du}{\sqrt{u}} = - \int u^{-1/2} du$$

となります。

次に、べき関数の積分公式

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

を使って積分を実行します。

$$- \int u^{-1/2} du = - \frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = - \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -2u^{1/2} + C$$

最後に、$u$ を $1-x$ に戻します。

$$-2u^{1/2} + C = -2 \sqrt{1-x} + C$$

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = -2\sqrt{1-x} + C$