$a$を定数とする。関数 $y = x^2 - 6x + 5$ ($a \le x \le a+2$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。関数 $y = x^2 - 6x + 5$ ($a \le x \le a+2$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

よって、頂点の座標は $(3, -4)$ である。

次に、定義域 $a \le x \le a+2$ と頂点の $x$ 座標である $3$ の位置関係を考慮して、場合分けを行う。

(i) $a+2 < 3$ つまり $a < 1$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x=a$ で最小値をとる。

$y = a^2 - 6a + 5$

(ii) $a \le 3 \le a+2$ つまり $1 \le a \le 3$ のとき

頂点の $x$ 座標が定義域に含まれるので、$x=3$ で最小値をとる。

$y = -4$

(iii) $3 < a$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x=a+2$ で最小値をとる。

$y = (a+2)^2 - 6(a+2) + 5 = a^2 + 4a + 4 - 6a - 12 + 5 = a^2 - 2a - 3$

したがって、最小値は

$a < 1$ のとき $a^2 - 6a + 5$

$1 \le a \le 3$ のとき $-4$

$3 < a$ のとき $a^2 - 2a - 3$

3. 最終的な答え

$a < 1$ のとき $a^2 - 6a + 5$

$1 \le a \le 3$ のとき $-4$

$3 < a$ のとき $a^2 - 2a - 3$