与えられた数学の問題は、主に以下の2つのタイプに分かれています。 * 分母の有理化（問題1～4） * 絶対値の計算（問題5～6）

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、主に以下の2つのタイプに分かれています。

* 分母の有理化（問題1～4）

* 絶対値の計算（問題5～6）

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

問題1：分母の有理化

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

分母と分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{10}}$

分母と分子に$\sqrt{10}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1 \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{5}}$

分母と分子に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(4) $\frac{1}{2\sqrt{7}}$

分母と分子に$\sqrt{7}$をかけます。

$\frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{1 \times \sqrt{7}}{2\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{2 \times 7} = \frac{\sqrt{7}}{14}$

問題2：分母の有理化

(1) $\frac{2}{\sqrt{2}}$

分母と分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(2) $\frac{3}{\sqrt{3}}$

分母と分子に$\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

(3) $\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

分母と分子に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{2} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{10}}{5} = 2\sqrt{10}$

(4) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

分母と分子に$\sqrt{6}$をかけます。

$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{3}$

問題3：分母の有理化

(1) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$

分母の共役$\sqrt{6} - \sqrt{3}$を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{1 \times (\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{6} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{6 - 3} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

分母の共役$\sqrt{7} + \sqrt{5}$を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{1 \times (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \times (\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{5}}$

分母の共役$\sqrt{11} - \sqrt{5}$を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{5}} = \frac{1 \times (\sqrt{11} - \sqrt{5})}{(\sqrt{11} + \sqrt{5}) \times (\sqrt{11} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{11 - 5} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{6}$

問題4：分母の有理化

(1) $\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$

分母の共役$\sqrt{10} + \sqrt{2}$を分母と分子にかけます。

$\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{4 \times (\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2}) \times (\sqrt{10} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{10 - 2} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

分母の共役$\sqrt{5} - \sqrt{2}$を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \frac{5 - 2\sqrt{10} + 2}{3} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

問題5：絶対値の計算

(1) $|2| = 2$

(2) $|10| = 10$

(3) $|-7| = 7$

(4) $|-30| = 30$

(5) $|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$

問題6：絶対値の計算

(1) $|3 - 5| = |-2| = 2$

(2) $|-1 - 4| = |-5| = 5$

(3) $|-8 + 3| = |-5| = 5$

(4) $|-8| + |3| = 8 + 3 = 11$

(5) $|-7| - |-1| - |1| = 7 - 1 - 1 = 5$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(4) $\frac{\sqrt{7}}{14}$

問題2:

(1) $\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{3}$

(3) $2\sqrt{10}$

(4) $\frac{\sqrt{30}}{3}$

問題3:

(1) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{6}$

問題4:

(1) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

問題5:

(1) 2

(2) 10

(3) 7

(4) 30

(5) $\frac{3}{4}$

問題6:

(1) 2

(2) 5

(3) 5

(4) 11

(5) 5