与えられた6つの2次関数について、グラフを描き、軸と頂点を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、グラフを描き、軸と頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形（平方完成）します。

このとき、

* 軸は $x = p$

* 頂点は $(p, q)$

となります。

グラフは、頂点を中心に、aの値によって開き方が変わる放物線となります。a > 0のときは下に凸、a < 0のときは上に凸です。

(1) $y = 2x^2$

これはすでに平方完成された形です。 $y = 2(x-0)^2 + 0$ とみなせます。

軸：$x = 0$

頂点：$(0, 0)$

(2) $y = x^2 - 4x + 3$

平方完成を行います。

$y = (x^2 - 4x) + 3$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) + 3$

$y = (x - 2)^2 - 4 + 3$

$y = (x - 2)^2 - 1$

軸：$x = 2$

頂点：$(2, -1)$

(3) $y = 2x^2 + 8x + 3$

平方完成を行います。

$y = 2(x^2 + 4x) + 3$

$y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3$

$y = 2((x + 2)^2 - 4) + 3$

$y = 2(x + 2)^2 - 8 + 3$

$y = 2(x + 2)^2 - 5$

軸：$x = -2$

頂点：$(-2, -5)$

(4) $y = -3x^2 + 6x + 1$

平方完成を行います。

$y = -3(x^2 - 2x) + 1$

$y = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -3((x - 1)^2 - 1) + 1$

$y = -3(x - 1)^2 + 3 + 1$

$y = -3(x - 1)^2 + 4$

軸：$x = 1$

頂点：$(1, 4)$

(5) $y = -x^2 - 3x$

平方完成を行います。

$y = -(x^2 + 3x)$

$y = -(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4})$

$y = -( (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4})$

$y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$

軸：$x = -\frac{3}{2}$

頂点：$(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

(6) $y = 2x^2 + 4$

これはすでに平方完成された形です。 $y = 2(x-0)^2 + 4$ とみなせます。

軸：$x = 0$

頂点：$(0, 4)$

グラフの作成は省略します。

3. 最終的な答え

(1) 軸：$x = 0$, 頂点：$(0, 0)$

(2) 軸：$x = 2$, 頂点：$(2, -1)$

(3) 軸：$x = -2$, 頂点：$(-2, -5)$

(4) 軸：$x = 1$, 頂点：$(1, 4)$

(5) 軸：$x = -\frac{3}{2}$, 頂点：$(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

(6) 軸：$x = 0$, 頂点：$(0, 4)$