$y = a(x^2 + bx) + c$ (もし $x^2$ の係数が1であれば、このステップは省略できます。)

問題の内容

画像に記載された二次関数を、それぞれ平方完成させる問題です。具体的には、以下の10個の二次関数について、平方完成を行います。

(3) $y = x^2 - 4$

(4) $y = x^2 + 5x + 6$

(5) $y = x^2 + 3x - 1$

(6) $y = x^2 - 4x + 1$

(7) $y = 2x^2 - x - 3$

(8) $y = 2x^2 + 7x + 6$

(9) $y = x^2 + 2x + 1$

(10) $y = x^2 + 2x + 3$

2. 解き方の手順

平方完成は、一般的に以下の手順で行います。

1. $x^2$ の係数で括る:

$y = a(x^2 + bx) + c$

(もし $x^2$ の係数が1であれば、このステップは省略できます。)

2. 括弧内の $x$ の係数の半分を二乗する:

$(\frac{b}{2})^2$

3. 括弧内に $(\frac{b}{2})^2$ を足し引きする:

$y = a(x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2) + c$

4. 括弧内を平方の形に変形する:

$y = a(x + \frac{b}{2})^2 - a(\frac{b}{2})^2 + c$

5. 定数項を整理する:

$y = a(x + \frac{b}{2})^2 + (c - a(\frac{b}{2})^2)$

では、各関数について平方完成を行いましょう。

(3) $y = x^2 - 4 = (x - 0)^2 - 4$

(4) $y = x^2 + 5x + 6 = (x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 6 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{24}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$

(5) $y = x^2 + 3x - 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 - 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$

(6) $y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - (-2)^2 + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$

(7) $y = 2x^2 - x - 3 = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) - 3 = 2(x - \frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{16}) - 3 = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - \frac{24}{8} = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8}$

(8) $y = 2x^2 + 7x + 6 = 2(x^2 + \frac{7}{2}x) + 6 = 2(x + \frac{7}{4})^2 - 2(\frac{49}{16}) + 6 = 2(x + \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + \frac{48}{8} = 2(x + \frac{7}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(9) $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 - 1 + 1 = (x + 1)^2$

(10) $y = x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 - 1 + 3 = (x + 1)^2 + 2$

3. 最終的な答え

(3) $y = (x - 0)^2 - 4$

(4) $y = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$

(5) $y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$

(6) $y = (x - 2)^2 - 3$

(7) $y = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8}$

(8) $y = 2(x + \frac{7}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(9) $y = (x + 1)^2$

(10) $y = (x + 1)^2 + 2$