(2) $a = \sqrt{5}$の小数部分を$b$とするとき、$b$の値を求め、さらに $a^2 + b^2$ の値を求める。 (3) (2)で求めた $b$ の値を用いて、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

(2) $a = \sqrt{5}$の小数部分を$b$とするとき、$b$の値を求め、さらに $a^2 + b^2$ の値を求める。

(3) (2)で求めた $b$ の値を用いて、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$a = \sqrt{5}$ の小数部分 $b$ を求める。問題文の注記にあるように、$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、$\sqrt{5}$ の整数部分は $2$ であり、小数部分 $b$ は $\sqrt{5} - 2$ である。

$b = \sqrt{5} - 2$

次に、$a^2 + b^2$ を求める。$a = \sqrt{5}$ であり、$b = \sqrt{5} - 2$ であるから、

$a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

$b^2 = (\sqrt{5} - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

したがって、

$a^2 + b^2 = 5 + (9 - 4\sqrt{5}) = 14 - 4\sqrt{5}$

(3)

(2)で求めた $b = \sqrt{5} - 2$ を用いて、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求める。ただし、$a = \sqrt{5}$ である。

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = (\sqrt{5})^4 - (\sqrt{5}-2)^4 + 2\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)^2 - (\sqrt{5})^2$

$= 25 - (\sqrt{5}-2)^4 + 2\sqrt{5}(9-4\sqrt{5}) - 5$

$= 20 - (\sqrt{5}-2)^4 + 18\sqrt{5} - 40$

$= -20 - (\sqrt{5}-2)^4 + 18\sqrt{5}$

$(\sqrt{5}-2)^2 = 9 - 4\sqrt{5}$ なので、

$(\sqrt{5}-2)^4 = (9-4\sqrt{5})^2 = 81 - 72\sqrt{5} + 16(5) = 81 - 72\sqrt{5} + 80 = 161 - 72\sqrt{5}$

したがって、

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = -20 - (161 - 72\sqrt{5}) + 18\sqrt{5} = -20 - 161 + 72\sqrt{5} + 18\sqrt{5} = -181 + 90\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(2) $b = \sqrt{5} - 2$, $a^2 + b^2 = 14 - 4\sqrt{5}$

(3) $a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = -181 + 90\sqrt{5}$