関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 2x^2 - 4ax + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 \\

&= 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 \\

&= 2(x - a)^2

\end{align*}

この関数は下に凸な放物線で、軸は $x = a$ です。定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値を求めるので、$a$ の位置によって場合分けが必要です。

(1) $a < 0$ のとき：

定義域 $0 \le x \le 1$ で関数は減少するので、$x = 1$ で最小値をとります。

$y = 2(1 - a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

(2) $0 \le a \le 1$ のとき：

軸 $x = a$ が定義域に含まれるので、$x = a$ で最小値をとります。

$y = 2(a - a)^2 = 0$

(3) $1 < a$ のとき：

定義域 $0 \le x \le 1$ で関数は増加するので、$x = 0$ で最小値をとります。

$y = 2(0 - a)^2 = 2a^2$

3. 最終的な答え

最小値は、

$a < 0$ のとき $2a^2 - 4a + 2$

$0 \le a \le 1$ のとき $0$

$1 < a$ のとき $2a^2$

となります。