大きさ100の標本について、標本平均が56.3、標準偏差が10.2であるとき、母平均mに対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

大きさ100の標本について、標本平均が56.3、標準偏差が10.2であるとき、母平均mに対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

母平均の信頼区間は、標本平均$\bar{x}$、標準偏差$\sigma$、標本サイズ$n$、信頼係数$z$を用いて、次の式で表されます。

$\bar{x} - z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

信頼度95%の場合、$z$値は1.96です。問題文より、$\bar{x} = 56.3$, $\sigma = 10.2$, $n = 100$ であるので、これらの値を上記の式に代入して、信頼区間を求めます。

まず、信頼区間の幅を計算します。

$z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{10.2}{\sqrt{100}} = 1.96 \times \frac{10.2}{10} = 1.96 \times 1.02 = 1.9992$

したがって、信頼区間の下限は

$56.3 - 1.9992 = 54.3008$

信頼区間の上限は

$56.3 + 1.9992 = 58.2992$

3. 最終的な答え

母平均$m$に対する信頼度95%の信頼区間は、

$54.3008 \le m \le 58.2992$

または、

[54.3008, 58.2992]