モンティ・ホール問題です。3つの扉があり、1つに新車、残りの2つにヤギが入っています。あなたが最初に1番の扉を選んだ後、司会者がヤギのいる3番の扉を開けました。このとき、1番の扉のままにするか、2番の扉に変更するかで、新車が当たる確率を比較します。

1. 問題の内容

モンティ・ホール問題です。3つの扉があり、1つに新車、残りの2つにヤギが入っています。あなたが最初に1番の扉を選んだ後、司会者がヤギのいる3番の扉を開けました。このとき、1番の扉のままにするか、2番の扉に変更するかで、新車が当たる確率を比較します。

2. 解き方の手順

まず、司会者が3番の扉を開ける確率 $P(X)$ を計算します。

扉1に新車がある場合（事象A）、司会者は確率1/2で2番か3番の扉を開けます。

扉2に新車がある場合（事象B）、司会者は3番の扉を開けざるを得ません。

扉3に新車がある場合、司会者は2番の扉を開けます。

$P(X)$ は、扉1, 2, 3に新車がある場合の確率の合計になります。

$P(X) = P(A) \times P(X|A) + P(B) \times P(X|B) + P(C) \times P(X|C)$

ここで、$C$は扉3に新車がある事象を表します。問題文より$P(C)$は不要です。

$P(A) = 1/3$ (扉1に新車がある確率)

$P(X|A) = 1/2$ (扉1に新車があるとき、司会者が3番の扉を開ける確率)

$P(B) = 1/3$ (扉2に新車がある確率)

$P(X|B) = 1$ (扉2に新車があるとき、司会者は3番の扉を開ける確率)

$P(C) = 1/3$ (扉3に新車がある確率)

$P(X|C) = 0$ (扉3に新車があるとき、司会者は3番の扉を開けることはない)

したがって、

$P(X) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$

次に、3番の扉が開けられたという条件のもとで、1番の扉に新車がある条件付き確率 $P_X(A)$ と、2番の扉に新車がある条件付き確率 $P_X(B)$ を計算します。

条件付き確率は次の式で計算できます。

$P_X(A) = \frac{P(A \cap X)}{P(X)}$

$P_X(B) = \frac{P(B \cap X)}{P(X)}$

$P(A \cap X) = P(A) \times P(X|A) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

$P(B \cap X) = P(B) \times P(X|B) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$

$P_X(A) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

$P_X(B) = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

1番の扉のままにして新車が当たる確率: 1/3

2番の扉に変更して新車が当たる確率: 2/3

したがって、扉を変更した方が新車が当たる確率が高いです。