与えられた組み合わせの値を計算する問題です。具体的には、${}_5\mathrm{C}_4$、${}_9\mathrm{C}_6$、${}_{20}\mathrm{C}_{18}$の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた組み合わせの値を計算する問題です。具体的には、${}_5\mathrm{C}_4$、${}_9\mathrm{C}_6$、${}_{20}\mathrm{C}_{18}$の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

組み合わせの公式 ${}_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を利用して計算します。

ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ です。

(1) ${}_5\mathrm{C}_4$ の計算

${}_5\mathrm{C}_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{5 \times 4!}{4! \times 1} = 5$

(2) ${}_9\mathrm{C}_6$ の計算

${}_9\mathrm{C}_6 = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(3) ${}_{20}\mathrm{C}_{18}$ の計算

${}_{20}\mathrm{C}_{18} = \frac{20!}{18!(20-18)!} = \frac{20!}{18!2!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{18! \times 2 \times 1} = \frac{20 \times 19}{2} = 10 \times 19 = 190$

3. 最終的な答え

(1) ${}_5\mathrm{C}_4 = 5$

(2) ${}_9\mathrm{C}_6 = 84$

(3) ${}_{20}\mathrm{C}_{18} = 190$