袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻す操作を4回繰り返す。このとき、赤玉を取り出した回数を$m$回、取り出した玉の色の種類の数を$n$種類とする。 (1) $m=4$となる確率を求める。 (2) $mn=6$となる確率を求める。 (3) $mn$の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻す操作を4回繰り返す。このとき、赤玉を取り出した回数を$m$回、取り出した玉の色の種類の数を$n$種類とする。

(1) $m=4$となる確率を求める。

(2) $mn=6$となる確率を求める。

(3) $mn$の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $m=4$となるのは、4回とも赤玉を取り出す場合である。

1回に赤玉を取り出す確率は$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$であるから、$m=4$となる確率は

$$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$$

(2) $mn=6$となるのは、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $m=3, n=2$の場合

(ii) $m=2, n=3$の場合

(i) $m=3, n=2$となるのは、赤玉を3回、赤玉以外の玉を1回取り出す場合である。

赤玉以外の玉を1回取り出す確率は$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$である。

4回のうち赤玉以外を引く1回を選ぶ組み合わせは${}_4C_1=4$通りある。

したがって、$m=3, n=2$となる確率は、

$${}_4C_1 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2})^4 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$

ただし、$m=3$の場合、必ず赤玉以外の2種類の色から1つを選んでいるので、$n=2$となる。

(ii) $m=2, n=3$となるのは、赤玉を2回、白玉と青玉をそれぞれ1回ずつ取り出す場合である。

4回のうち、赤玉を引く2回を選ぶ組み合わせは${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りある。

残りの2回のうち、白玉を引くか青玉を引くかを選ぶ組み合わせは$2$通りある。

白玉と青玉を引く確率は、それぞれ$\frac{1}{4}$である。

したがって、$m=2, n=3$となる確率は、

$${}_4C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{4}) (\frac{1}{4}) \times 2 = 6 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{16} \times 2 = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$$

(i), (ii)より、$mn=6$となる確率は

$$\frac{1}{4} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} + \frac{3}{16} = \frac{7}{16}$$

(3) $mn$の期待値は、$mn$の取りうる値とその確率を求めて、それらを掛け合わせたものの総和である。

$m$の取りうる値は0, 1, 2, 3, 4である。

$n$の取りうる値は1, 2, 3である。

$mn$の取りうる値は、0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12。

$m=0$のとき、$n=1$となる確率は$(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$

$m=1$のとき、$n=2$となる確率は${}_4C_1 (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^3 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$m=2$のとき、$n=1$となる確率 (白と青を引かない場合) は${}_4C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$n=2$となる確率 (白か青のどちらかを引く場合)は ${}_4C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{4})^1(\frac{1}{4})^1=\frac{6}{16} \times 2 = \frac{12}{64}$

$n=3$となる確率は$\frac{3}{16}$ (上記参照)

$m=3$のとき、$n=2$となる確率は$\frac{1}{4}$

$m=4$のとき、$n=1$となる確率は$\frac{1}{16}$

$P(mn=0) = \frac{1}{16}$

$P(mn=2) = \frac{1}{4}$

$P(mn=3) = \frac{3}{16}$

$P(mn=4)=0$

$P(mn=6) = \frac{7}{16}$

$E[mn] = 0 \times \frac{1}{16} + 2 \times \frac{1}{4} +6 \times \frac{7}{16}$

玉を1つ取り出すとき、$m$の期待値は$1 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$である。4回繰り返すので$E[m] = 4 \times \frac{1}{2} = 2$

玉を1つ取り出すとき、$n$の期待値は$P(n=1) + 2P(n=2) +3P(n=3)$

$$(\frac{1}{2})^4\times 1$$

$X_i$をi回目に赤玉を取り出したら1, そうでなければ0とする。$m=X_1 + X_2 + X_3 + X_4$

$m=4, m=3, m=2, m=1, m=0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}$

(2) $\frac{7}{16}$

(3) $\frac{9}{4}$