袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個の合計4個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻すことを4回繰り返す。赤玉を取り出した回数を$m$回、取り出した玉の色の種類の数を$n$種類とする。 (1) $m=4$となる確率を求めよ。 (2) $mn=6$となる確率を求めよ。 (3) $mn$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個の合計4個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻すことを4回繰り返す。赤玉を取り出した回数を$m$回、取り出した玉の色の種類の数を$n$種類とする。

(1) $m=4$となる確率を求めよ。

(2) $mn=6$となる確率を求めよ。

(3) $mn$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $m=4$となる確率は、4回とも赤玉を取り出す確率である。赤玉を取り出す確率は$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$であるから、求める確率は

$$$$

\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}

$$$$

(2) $mn=6$となる確率を求める。

$m$と$n$はそれぞれ、赤玉を取り出した回数と取り出した玉の色の種類数である。4回の試行で、$m$と$n$の取りうる値は以下の通り。

- $m = 0, 1, 2, 3, 4$

- $n = 1, 2, 3$

$mn=6$となるのは、$(m, n) = (2, 3)$または$(m, n) = (3, 2)$のときである。

(i) $(m, n) = (2, 3)$のとき：

赤玉を2回、白玉または青玉をそれぞれ1回ずつ取り出す場合である。

この確率は、

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{}_4C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} \cdot 2 = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}

$$$$

(ii) $(m, n) = (3, 2)$のとき：

赤玉を3回、白玉または青玉を1回取り出す場合である。

この確率は、

$$$$

{}_4C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = \frac{2}{16}

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したがって、求める確率は

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\frac{3}{16} + \frac{2}{16} = \frac{5}{16}

$$$$

(3) $mn$の期待値を求める。

$m$は二項分布$B(4, \frac{1}{2})$に従うので、$m$の期待値は$E[m] = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$である。

$n$の値とその確率を求める。

- $n=1$: 4回とも同じ色を取り出す場合

- 4回とも赤: $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

- 4回とも白: $(\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

- 4回とも青: $(\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

- よって、$P(n=1) = \frac{1}{16} + \frac{1}{256} + \frac{1}{256} = \frac{16+1+1}{256} = \frac{18}{256} = \frac{9}{128}$

- $n=2$: 2種類の色を取り出す場合

- $P(n=2) = 1 - P(n=1) - P(n=3)$を用いて計算できる。

- $n=3$: 3種類の色を取り出す場合

- 赤玉、白玉、青玉が少なくとも1回ずつ出る場合。

- 起こりうるパターンとしては、(赤2回、白1回、青1回)のみ。

- 確率は ${}_4C_{2,1,1} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{4})^1 = \frac{4!}{2!1!1!} \cdot \frac{1}{16 \cdot 4} = 12 \cdot \frac{1}{64} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16} = \frac{24}{128}$

$P(n=2) = 1 - \frac{9}{128} - \frac{24}{128} = \frac{128 - 33}{128} = \frac{95}{128}$

$E[mn] = \sum m_i n_j P(m=m_i, n=n_j)$ を計算する。

$E[mn] = E[m] E[n]$ではないので、地道に計算する。

$E[n] = 1 \cdot \frac{9}{128} + 2 \cdot \frac{95}{128} + 3 \cdot \frac{24}{128} = \frac{9 + 190 + 72}{128} = \frac{271}{128}$

$m$と$n$の同時確率分布を考える必要がある。

$mn=0$: $m=0$の場合。$m=0$となる確率は$(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$。

$mn=1$: $m=1$かつ$n=1$はありえない。

$mn=2$: $m=1$かつ$n=2$。

$mn=3$: $m=1$かつ$n=3$はありえない。$m=3$かつ$n=1$も。

$mn=4$: $m=2$かつ$n=2$ または $m=4$かつ$n=1$

$mn=6$: $m=2$かつ$n=3$ または $m=3$かつ$n=2$

$mn=8$: $m=4$かつ$n=2$

$mn=9$: $m=3$かつ$n=3$

$mn=12$: $m=4$かつ$n=3$

$E[mn] = 0 \cdot P(m=0) + \dots$

複雑すぎるので、別のアプローチを考える。

$X_i$を$i$回目に赤玉が出たとき1、そうでなければ0となる確率変数とする。$m = \sum_{i=1}^4 X_i$

$Y_R$, $Y_W$, $Y_B$をそれぞれ赤、白、青の玉が少なくとも一回出たとき1、そうでなければ0となる確率変数とする。$n=Y_R+Y_W+Y_B$

$E[mn] = E[(\sum X_i)(Y_R+Y_W+Y_B)] = E[(\sum X_i Y_R) + (\sum X_i Y_W) + (\sum X_i Y_B)]$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}$

(2) $\frac{5}{16}$

(3) $\frac{271}{64}$