正五角形ABCDEの頂点AにPさんがいる。Pさんはサイコロを振り、出た目の数だけ反時計回りに頂点を移動する。以下の3つの確率を求める問題です。 (1) サイコロを1回振ったとき、Pさんが頂点Bにいる確率。 (2) サイコロを2回振ったとき、Pさんが頂点Bにいる確率と、頂点Eにいる確率。 (3) サイコロを3回振ったとき、Pさんが頂点Aにいる確率。

1. 問題の内容

正五角形ABCDEの頂点AにPさんがいる。Pさんはサイコロを振り、出た目の数だけ反時計回りに頂点を移動する。以下の3つの確率を求める問題です。

(1) サイコロを1回振ったとき、Pさんが頂点Bにいる確率。

(2) サイコロを2回振ったとき、Pさんが頂点Bにいる確率と、頂点Eにいる確率。

(3) サイコロを3回振ったとき、Pさんが頂点Aにいる確率。

2. 解き方の手順

(1) サイコロを1回振ったとき、Pさんが頂点Bにいる確率：

サイコロの目は1から6まであり、それぞれ等確率$\frac{1}{6}$で出現します。Pさんが頂点Bにいるためには、サイコロの目が1である必要があります。

(2) サイコロを2回振ったとき：

* サイコロの目の合計が$x$となる確率を$P(x)$と表記します。

* Pさんが頂点Bにいるためには、サイコロの目の合計が$1 + 5k$ (kは0以上の整数) である必要があります。 2回の合計なので、目の合計は2以上12以下です。従って、サイコロの目の合計は1または6または11である必要があります。

* 合計が1になることはありません。

* 合計が6になる組み合わせは (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) の5通りなので、確率は$\frac{5}{36}$です。

* 合計が11になる組み合わせは (5,6), (6,5) の2通りなので、確率は$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$です。

したがって、頂点Bにいる確率は$\frac{5}{36} + \frac{2}{36} = \frac{7}{36}$です。

* Pさんが頂点Eにいるためには、サイコロの目の合計が$4 + 5k$ (kは0以上の整数)である必要があります。 2回の合計なので、目の合計は2以上12以下です。従って、サイコロの目の合計は4または9である必要があります。

* 合計が4になる組み合わせは (1,3), (2,2), (3,1) の3通りなので、確率は$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$です。

* 合計が9になる組み合わせは (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) の4通りなので、確率は$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$です。

したがって、頂点Eにいる確率は$\frac{3}{36} + \frac{4}{36} = \frac{7}{36}$です。

(3) サイコロを3回振ったとき、Pさんが頂点Aにいる確率：

* Pさんが頂点Aにいるためには、サイコロの目の合計が$5k$ (kは1以上の整数) である必要があります。3回の合計なので、目の合計は3以上18以下です。従って、サイコロの目の合計は5または10または15である必要があります。

* 合計が5になる組み合わせ：(1,1,3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1) なので6通り。

* 合計が10になる組み合わせ：(1,3,6)のような並び替えが３！＝６通り，(1,4,5)も同様に６通り，(2,2,6)は３通り，(2,3,5)は６通り，(2,4,4)は３通り，(3,3,4)は3通り。なので、6+6+3+6+3+3=27通り。

* 合計が15になる組み合わせ：(3,6,6)は3通り, (4,5,6)は６通り,(5,5,5)は1通り, (4,4,7)はなし。3+6+1=10通り。

3回のサイコロの目の組み合わせは全部で$6^3 = 216$通り。

したがって、頂点Aにいる確率は $\frac{6 + 27 + 10}{216} = \frac{43}{216}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) ① $\frac{7}{36}$　② $\frac{7}{36}$

(3) $\frac{43}{216}$