袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個の合計4個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻すことを4回繰り返す。取り出した赤玉の回数を$m$、取り出した玉の色の種類数を$n$とする。 (1) $m=4$となる確率を求めよ。 (2) $mn=6$となる確率を求めよ。 (3) $mn$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個の合計4個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻すことを4回繰り返す。取り出した赤玉の回数を$m$、取り出した玉の色の種類数を$n$とする。

(1) $m=4$となる確率を求めよ。

(2) $mn=6$となる確率を求めよ。

(3) $mn$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $m=4$となるのは、4回とも赤玉を取り出す場合である。

赤玉を取り出す確率は$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$であるから、4回とも赤玉を取り出す確率は$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$となる。

(2) $mn=6$となる場合を考える。

$m, n$は自然数であり、$m \le 4, n \le 3$である。

$mn = 6$となるのは、以下の2つの場合である。

(i) $m=2, n=3$

(ii) $m=3, n=2$

(i) $m=2, n=3$の場合

4回の試行で赤玉が2回、白玉と青玉がそれぞれ1回ずつ出る確率を求める。

赤玉、白玉、青玉が出る確率はそれぞれ$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$である。

この確率は、$\frac{4!}{2!1!1!} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{4})^1 = 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$

(ii) $m=3, n=2$の場合

4回の試行で赤玉が3回、白玉または青玉が1回出る確率を求める。

赤玉が出る確率は$\frac{1}{2}$、白玉または青玉が出る確率は$\frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$である。

この確率は、$\frac{4!}{3!1!} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^1 = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

したがって、$mn=6$となる確率は、$\frac{3}{16} + \frac{1}{4} = \frac{3}{16} + \frac{4}{16} = \frac{7}{16}$

(3) $mn$の期待値を求める。

$m$が取りうる値は$0, 1, 2, 3, 4$である。

$n$が取りうる値は$1, 2, 3$である。

$m$の確率分布は二項分布$B(4, \frac{1}{2})$に従う。

$P(m=k) = {}_4 C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {}_4 C_k (\frac{1}{2})^4 = \frac{{}_4 C_k}{16}$

$m=0$のとき、4回とも赤玉以外が出る確率である。

4回とも白玉または青玉が出る確率は、$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

このとき$n=1$なので、$mn = 0 \cdot 1 = 0$

$m=1$のとき、赤玉1回、白玉または青玉3回である。

$P(m=1) = \frac{{}_4 C_1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

(i)赤白白白,赤青青青などのときn=2でmn=2

(ii)赤白青青，赤白白青でn=3

n=2とn=3の場合がある.計算が複雑になるので場合分けする.

$E[m]=4\cdot \frac{1}{2}=2$

$E[n]$を求めるのは難しい.

$P(m=0) = \frac{1}{16}$, $n=1$, $mn = 0$

$P(m=1) = \frac{4}{16}$,

$P(m=2) = \frac{6}{16}$,

$P(m=3) = \frac{4}{16}$,

$P(m=4) = \frac{1}{16}$,

この問題は期待値の線形性を使う.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}$

(2) $\frac{7}{16}$

(3) $mn$の期待値を求めよ。