1から7までの番号がついた7個の玉が入っている袋から、玉を1個取り出し元に戻すという試行をn回行ったとき、得られるn個の数の和が奇数である確率を$p_n$とする。 (1) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ。 (2) $p_n$を求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

1から7までの番号がついた7個の玉が入っている袋から、玉を1個取り出し元に戻すという試行をn回行ったとき、得られるn個の数の和が奇数である確率を$p_n$とする。

(1) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ。

(2) $p_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n+1$回の試行で和が奇数になるのは、次の2つの場合がある。

* $n$回の試行で和が偶数で、$n+1$回目の試行で奇数の玉が出る。

* $n$回の試行で和が奇数で、$n+1$回目の試行で偶数の玉が出る。

$n$回の試行で和が偶数になる確率は$1-p_n$である。

袋の中には奇数の玉が1, 3, 5, 7の4個、偶数の玉が2, 4, 6の3個入っている。

したがって、$n+1$回目の試行で奇数の玉が出る確率は$\frac{4}{7}$、偶数の玉が出る確率は$\frac{3}{7}$である。

よって、$p_{n+1}$は次のように表せる。

$p_{n+1} = (1-p_n) \cdot \frac{4}{7} + p_n \cdot \frac{3}{7}$

$p_{n+1} = \frac{4}{7} - \frac{4}{7}p_n + \frac{3}{7}p_n$

$p_{n+1} = \frac{4}{7} - \frac{1}{7}p_n$

(2) $p_{n+1} = \frac{4}{7} - \frac{1}{7}p_n$を変形する。

$p_{n+1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{7}(p_n - \frac{1}{2})$

数列$\{p_n - \frac{1}{2}\}$は、初項$p_1 - \frac{1}{2}$、公比$-\frac{1}{7}$の等比数列である。

$p_1$は1回の試行で奇数の玉が出る確率なので、$p_1 = \frac{4}{7}$である。

よって、$p_1 - \frac{1}{2} = \frac{4}{7} - \frac{1}{2} = \frac{8-7}{14} = \frac{1}{14}$となる。

したがって、

$p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{14} \cdot (-\frac{1}{7})^{n-1}$

$p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{14} \cdot (-\frac{1}{7})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $p_{n+1} = \frac{4}{7} - \frac{1}{7}p_n$

(2) $p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{14}(-\frac{1}{7})^{n-1}$