組み合わせの数 ${}_{18}C_{15}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

組み合わせの数 ${}_{18}C_{15}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

組み合わせの定義より、${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

今回の問題では、$n = 18$、$r = 15$ なので、

${}_{18}C_{15} = \frac{18!}{15!(18-15)!} = \frac{18!}{15!3!}$ となります。

計算を簡単にするために、階乗を展開して約分します。

$\frac{18!}{15!3!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15!}{15! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = \frac{18 \times 17 \times 16}{6}$

さらに約分すると、

$\frac{18 \times 17 \times 16}{6} = 3 \times 17 \times 16$

$3 \times 17 \times 16 = 51 \times 16 = 816$

また、組み合わせの性質として、${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$ があります。

今回の問題では、${}_{18}C_{15} = {}_{18}C_{18-15} = {}_{18}C_3$ と変形できます。

${}_{18}C_3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15!}{3 \times 2 \times 1 \times 15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{6} = 3 \times 17 \times 16 = 816$

3. 最終的な答え

${}_{18}C_{15} = 816$