## 解答

確率論・統計学順列組合せ場合の数
2025/7/13
## 解答
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1. 問題の内容

画像にある問題の中から、以下の問題を解きます。
* **例題4**: 6人の候補選手の中から、リレーの第1走者から第4走者までを決めるとき、4人の走者の決め方は何通りあるか。
* **練習16**: 10人の生徒の中から、委員長、副委員長、書記を1人ずつ選ぶとき、選び方は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。
* **練習17**: 右の図のようなA, B, C, Dの4つの部分を、すべて違う色で塗り分ける。5種類の色があるとき、何通りの塗り方があるか。
* **応用6(1)**: 大人4人と子ども3人が1列に並ぶとき、両端が大人であるような並び方は何通りあるか。
* **応用6(2)**: 大人4人と子ども3人が1列に並ぶとき、子ども3人が続いて並ぶような並び方は何通りあるか。
* **練習18(1)**: 母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の 8個を1列に並べるとき、両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。
* **練習18(2)**: 母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の 8個を1列に並べるとき、母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。
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2. 解き方の手順

* **例題4**:
* 1走者は6人の中から選べる。
* 2走者は残りの5人の中から選べる。
* 3走者は残りの4人の中から選べる。
* 4走者は残りの3人の中から選べる。
* したがって、場合の数は 6×5×4×36 \times 5 \times 4 \times 3 で計算できる。
* **練習16**:
* 委員長は10人の中から選べる。
* 副委員長は残りの9人の中から選べる。
* 書記は残りの8人の中から選べる。
* したがって、場合の数は 10×9×810 \times 9 \times 8 で計算できる。
* **練習17**:
* Aは5色の中から選べる。
* BはAで使った色以外の4色の中から選べる。
* CはAとBで使った色以外の3色の中から選べる。
* DはA, B, Cで使った色以外の2色の中から選べる。
* したがって、場合の数は 5×4×3×25 \times 4 \times 3 \times 2 で計算できる。
* **応用6(1)**:
* 両端が大人の場合、まず両端の大人2人を選ぶ。 4人の中から2人を選ぶ方法は 4P2_4P_2 = 4×3=124 \times 3 = 12通り
* 残りの5人は自由に並べられるので、並べ方は 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 通り
* したがって、場合の数は 12×12012 \times 120 で計算できる。
* **応用6(2)**:
* 子供3人をひとまとめにして考えると、大人4人と子供のグループ1つの合計5つを並べる並べ方は 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 通り。
* 子供3人の並べ方は 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6 通り。
* したがって、場合の数は 120×6120 \times 6 で計算できる。
* **練習18(1)**:
* 両端が母音なので、まず両端に母音を配置する。5つの母音から2つを選んで並べる方法は 5P2=5×4=20_5P_2 = 5 \times 4 = 20 通り。
* 残りの6つの文字を並べる方法は 6!=6×5×4×3×2×1=7206! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 通り。
* したがって、場合の数は 20×72020 \times 720 で計算できる。
* **練習18(2)**:
* 母音5個をひとまとめにして考えると、子音3つと母音のグループ1つの合計4つを並べる並べ方は 4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 通り。
* 母音5個の並べ方は 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 通り。
* したがって、場合の数は 24×12024 \times 120 で計算できる。
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3. 最終的な答え

* **例題4**: 6×5×4×3=3606 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 通り
* **練習16**: 10×9×8=72010 \times 9 \times 8 = 720 通り
* **練習17**: 5×4×3×2=1205 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 通り
* **応用6(1)**: 12×120=144012 \times 120 = 1440 通り
* **応用6(2)**: 120×6=720120 \times 6 = 720 通り
* **練習18(1)**: 20×720=1440020 \times 720 = 14400 通り
* **練習18(2)**: 24×120=288024 \times 120 = 2880 通り

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