底面が1辺4cmの正方形で、他の辺が5cmである正四角錐O-ABCDがある。底面の正方形の対角線の交点をHとするとき、正四角錐O-ABCDの体積を求めよ。

1. 問題の内容

底面が1辺4cmの正方形で、他の辺が5cmである正四角錐O-ABCDがある。底面の正方形の対角線の交点をHとするとき、正四角錐O-ABCDの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、底面の正方形ABCDの対角線の長さを求める。正方形の1辺の長さが4cmなので、対角線ACの長さは三平方の定理より、

$AC = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cmとなる。

点Hは対角線の交点なので、$AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ cm。

次に、直角三角形OAHに注目して、正四角錐の高さを求める。OA = 5cm, AH = $2\sqrt{2}$ cmなので、OHの長さは三平方の定理より、

$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 8} = \sqrt{17}$ cmとなる。

正四角錐の体積は、$V = \frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$で求められる。

底面積は$4^2 = 16$ cm$^2$、高さは$\sqrt{17}$ cmなので、

$V = \frac{1}{3} \times 16 \times \sqrt{17} = \frac{16\sqrt{17}}{3}$ cm$^3$となる。

3. 最終的な答え

$\frac{16\sqrt{17}}{3}$ cm$^3$

サシ = 16

スセ = 17

ソ = 3