与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = x \sin x + 9 \cos x$ とおくと、その微分 $du$ は次のようになります。

$du = (\sin x + x \cos x - 9 \sin x) dx = (x \cos x - 8 \sin x) dx$

被積分関数を変形します。

$\frac{x^2+72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2+9^2-9^2+9*8}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2+81 - 9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2+9^2-9^2+72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{(x \sin x + 9 \cos x)'(-1)}{\cos x} + 1$

ここで、$f(x)= x \sin x + 9 \cos x$ とおくと、

$f'(x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$

$\frac{d}{dx} \left( \frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{(- \cos x + x \sin x + 9 \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (x \cos x - 8 \sin x)(-x \cos x + 9 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{(x \sin x + 8 \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (x \cos x - 8 \sin x)(-x \cos x + 9 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 \sin^2 x + 9x \sin x \cos x + 8x \sin x \cos x + 72 \cos^2 x - (-x^2 \cos^2 x + 9x \sin x \cos x + 8x \sin x \cos x - 72 \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 (\sin^2 x + \cos^2 x) + 72 (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

したがって、

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$