底面の半径が 4cm、母線の長さが 16cm の円錐がある。底面の周上にある点 A から円錐の側面を1周して点 A まで、ひもをゆるまないようにかける。 (1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求めよ。 (2) ひもの長さが最も短くなるとき、その長さを求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が 4cm、母線の長さが 16cm の円錐がある。底面の周上にある点 A から円錐の側面を1周して点 A まで、ひもをゆるまないようにかける。

(1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求めよ。

(2) ひもの長さが最も短くなるとき、その長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の展開図における側面のおうぎ形の中心角を求める。

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周に等しい。

底面の円周は $2 \pi r = 2 \pi (4) = 8 \pi$ cm。

おうぎ形の半径は、円錐の母線に等しく 16cm である。

おうぎ形の中心角を $\theta$ とすると、おうぎ形の弧の長さは $2 \pi (16) \times \frac{\theta}{360}$ で表せる。

したがって、

$2 \pi (16) \times \frac{\theta}{360} = 8 \pi$

$\frac{32 \pi \theta}{360} = 8 \pi$

$\theta = \frac{8 \pi \times 360}{32 \pi} = \frac{360}{4} = 90$

よって、中心角は 90 度である。

(2) ひもの長さが最も短くなるのは、円錐の展開図上で点 A から点 A までの直線距離である。円錐の展開図は、半径 16cm、中心角 90度のおうぎ形である。

点 A から点 A までの直線距離は、直角二等辺三角形の斜辺の長さに相当する。

直角を挟む二辺の長さはそれぞれ 16cm なので、三平方の定理より、

ひもの長さ $= \sqrt{16^2 + 16^2} = \sqrt{2 \times 16^2} = 16\sqrt{2}$ cm

3. 最終的な答え

(1) 90

(2) $16\sqrt{2}$