実数 $a, b$ に関する以下の3つの命題の真偽を判定し、真であれば証明、偽であれば反例を挙げる問題です。 (1) $a+b$ と $ab$ がともに無理数ならば、$a, b$ はともに無理数である。 (2) $a^3$ と $a^5$ がともに有理数ならば、$a$ は有理数である。 (3) $a+b>2$ かつ $ab>1$ ならば、$a>1$ かつ $b>1$ である。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ に関する以下の3つの命題の真偽を判定し、真であれば証明、偽であれば反例を挙げる問題です。

(1) $a+b$ と $ab$ がともに無理数ならば、$a, b$ はともに無理数である。

(2) $a^3$ と $a^5$ がともに有理数ならば、$a$ は有理数である。

(3) $a+b>2$ かつ $ab>1$ ならば、$a>1$ かつ $b>1$ である。

2. 解き方の手順

(1) の命題について

この命題は偽です。反例を挙げます。

$a = 1 + \sqrt{2}$ , $b = 1 - \sqrt{2}$ とすると、

$a + b = 2$ （有理数）

$ab = (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 1 - 2 = -1$ （有理数）

となり、$a+b$ と $ab$ がともに有理数ですが、$a, b$ はともに無理数です。命題の仮定が成り立たないため、反例として不適格です。

$a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$とすると、

$a+b = 0$ (有理数)

$ab = -2$ (有理数)

これも仮定が成り立たないため不適格です。

$a=\sqrt{2}$, $b=1$ とすると、

$a+b = \sqrt{2} + 1$ (無理数)

$ab = \sqrt{2}$ (無理数)

しかし、$a = \sqrt{2}$ は無理数ですが、$b=1$ は有理数なので、$a,b$がともに無理数であるという結論を満たしません。

したがって、この命題は偽であり、$a=\sqrt{2}$, $b=1$が反例となります。

(2) の命題について

この命題は真です。証明します。

$a^3$ と $a^5$ がともに有理数であるとします。

このとき、$a = 0$ ならば $a$ は有理数なので、 $a \neq 0$ とします。

$a^2 = \frac{a^5}{a^3}$ であり、$a^5$ と $a^3$ は有理数なので、$a^2$ も有理数です。

ここで、$a^2$ が有理数であることと $a^3$ が有理数であることから、$a = \frac{a^3}{a^2}$ も有理数となります。

(3) の命題について

この命題は偽です。反例を挙げます。

$a = 3$, $b = \frac{1}{2}$ とすると、

$a + b = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} > 2$

$ab = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 1$

ですが、$a = 3 > 1$ であるにもかかわらず、$b = \frac{1}{2} < 1$ となり、$a > 1$ かつ $b > 1$ を満たしません。

したがって、この命題は偽であり、$a=3$, $b=1/2$が反例となります。

3. 最終的な答え

(1) 偽 (反例: $a=\sqrt{2}$, $b=1$)

(2) 真 (証明は上記参照)

(3) 偽 (反例: $a=3$, $b=1/2$)