ニュートンの冷却法則に従う物体の温度変化に関する微分方程式を解き、初期温度が100℃、周囲温度が20℃の状況下で、1分後の温度が60℃であるときの定数kの値を求め、4分後の温度を求める。微分方程式は、 $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ で与えられる。ここで、$T$は物体の温度、$T_0$は周囲温度、$t$は時間、$k$は定数である。

## 問題2の解答

1. 問題の内容

ニュートンの冷却法則に従う物体の温度変化に関する微分方程式を解き、初期温度が100℃、周囲温度が20℃の状況下で、1分後の温度が60℃であるときの定数kの値を求め、4分後の温度を求める。微分方程式は、

$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$

で与えられる。ここで、$T$は物体の温度、$T_0$は周囲温度、$t$は時間、$k$は定数である。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式を解き、温度$T$を時間の関数で表す。

まず、与えられた微分方程式を変数分離する。

$\frac{dT}{T - T_0} = -k dt$

両辺を積分する。

$\int \frac{dT}{T - T_0} = \int -k dt$

$\ln|T - T_0| = -kt + C$

ここで、$C$は積分定数である。

絶対値をはずし、指数関数を取ると、

$T - T_0 = Ae^{-kt}$

ここで、$A = \pm e^C$ は定数である。

したがって、

$T(t) = T_0 + Ae^{-kt}$

初期条件 $T(0) = 100$℃、$T_0 = 20$℃ を代入する。

$100 = 20 + Ae^{0}$

$A = 80$

したがって、

$T(t) = 20 + 80e^{-kt}$

(2) 100℃のお湯は1分後に60℃になった。このときの$k$の値を求める。

$T(1) = 60$℃を代入する。

$60 = 20 + 80e^{-k(1)}$

$40 = 80e^{-k}$

$e^{-k} = \frac{1}{2}$

$-k = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$

$k = \ln 2$

(3) 4分後のお湯の温度を求める。

$t = 4$ を $T(t) = 20 + 80e^{-kt}$ に代入し、$k = \ln 2$ であるから、

$T(4) = 20 + 80e^{-4\ln 2} = 20 + 80e^{\ln 2^{-4}}$

$T(4) = 20 + 80 \times 2^{-4} = 20 + 80 \times \frac{1}{16} = 20 + 5 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $T(t) = 20 + 80e^{-kt}$

(2) $k = \ln 2$

(3) 25℃