不定方程式 $13x + 7y = 1$ の整数解を求めます。

1. 問題の内容

不定方程式 $13x + 7y = 1$ の整数解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法を用いて、$13$ と $7$ の最大公約数を求めます。

$13 = 7 \cdot 1 + 6$

$7 = 6 \cdot 1 + 1$

$6 = 1 \cdot 6$

よって、$13$ と $7$ の最大公約数は $1$ です。

次に、上の式を逆順にたどって、$13x + 7y = 1$ の整数解を求めます。

$1 = 7 - 6 \cdot 1$

$1 = 7 - (13 - 7 \cdot 1) \cdot 1$

$1 = 7 - 13 + 7$

$1 = 7 \cdot 2 - 13 \cdot 1$

$1 = 13 \cdot (-1) + 7 \cdot 2$

したがって、$13x + 7y = 1$ の一つの整数解は $(x, y) = (-1, 2)$ です。

次に、一般解を求めます。

$13x + 7y = 1$

$13(-1) + 7(2) = 1$

両辺の差をとると

$13(x + 1) + 7(y - 2) = 0$

$13(x + 1) = -7(y - 2)$

$13$ と $7$ は互いに素なので、$x + 1$ は $7$ の倍数でなければなりません。

よって、$x + 1 = 7k$ （$k$ は整数）とおけます。

$x = 7k - 1$

これを代入すると、

$13(7k) = -7(y - 2)$

$13k = -(y - 2)$

$y - 2 = -13k$

$y = -13k + 2$

したがって、一般解は $(x, y) = (7k - 1, -13k + 2)$ （$k$ は整数）となります。

3. 最終的な答え

一般解：$(x, y) = (7k - 1, -13k + 2)$ （$k$ は整数）