不定方程式 $13x + 7y = 1$ の整数解を求める問題です。

1. 問題の内容

不定方程式 $13x + 7y = 1$ の整数解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$13x + 7y = 1$を満たす整数解を一つ見つけます。

ユークリッドの互除法を使って13と7の最大公約数を求めます。

$13 = 7 \cdot 1 + 6$

$7 = 6 \cdot 1 + 1$

$6 = 1 \cdot 6 + 0$

最大公約数は1なので、不定方程式は解を持ちます。

上の式を逆にたどって、$13x + 7y = 1$となるxとyを見つけます。

$1 = 7 - 6 \cdot 1$

$1 = 7 - (13 - 7 \cdot 1) \cdot 1$

$1 = 7 - 13 + 7$

$1 = 7 \cdot 2 + 13 \cdot (-1)$

したがって、$13 \cdot (-1) + 7 \cdot 2 = 1$

これより、$x = -1, y = 2$ が特殊解の一つです。

次に、一般解を求めます。

$13x + 7y = 1$ と $13 \cdot (-1) + 7 \cdot 2 = 1$ の差をとると、

$13(x + 1) + 7(y - 2) = 0$

$13(x + 1) = -7(y - 2)$

13と7は互いに素なので、$x + 1$ は7の倍数であり、$y - 2$ は13の倍数です。

したがって、$x + 1 = 7k, y - 2 = -13k$ （kは整数）と書けます。

よって、$x = 7k - 1, y = -13k + 2$

3. 最終的な答え

$x = 7k - 1$

$y = -13k + 2$ (kは整数)