SENSEI AI
About App

与えられた積分を計算します。積分は $\int (2x+1) \log|x| dx$ です。

解析学積分部分積分対数関数
2025/6/27

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は ∫(2x+1)log⁡∣x∣dx\int (2x+1) \log|x| dx です。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。部分積分は、∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du で計算できます。
u=log⁡∣x∣u = \log|x| と dv=(2x+1)dxdv = (2x+1) dx とおきます。すると、
du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx
v=∫(2x+1)dx=x2+xv = \int (2x+1) dx = x^2 + x
となります。したがって、
∫(2x+1)log⁡∣x∣dx=(x2+x)log⁡∣x∣−∫(x2+x)1xdx\int (2x+1) \log|x| dx = (x^2+x)\log|x| - \int (x^2+x) \frac{1}{x} dx
=(x2+x)log⁡∣x∣−∫(x+1)dx= (x^2+x)\log|x| - \int (x+1) dx
=(x2+x)log⁡∣x∣−(x22+x)+C= (x^2+x)\log|x| - (\frac{x^2}{2}+x) + C

3. 最終的な答え

最終的な答えは以下のとおりです。
(x2+x)log⁡∣x∣−x22−x+C(x^2+x)\log|x| - \frac{x^2}{2} - x + C

「解析学」の関連問題

不定積分 $\int (-3) dx = ax + C$ が与えられており、$a$ の値を求める問題です。

不定積分積分
2025/6/27

定積分 $\int_{0}^{2} x^{3} dx$ を計算する問題です。

定積分積分不定積分計算
2025/6/27

不定積分 $\int (1 - 2x + 3x^2) dx = x + ax^2 + x^3 + C$ が与えられたとき、$a$ の値を求める問題です。

不定積分積分多項式
2025/6/27

不定積分 $\int x^3 dx = ax^4 + C$ が与えられたとき、$a$ の値を求める問題です。

不定積分積分積分計算
2025/6/27

定積分 $\int_{0}^{1} (2x-1)^2 dx$ の値を求めます。

定積分積分多項式計算
2025/6/27

定積分 $\int_{1}^{2} (-5) \, dx$ を計算します。

定積分積分積分計算
2025/6/27

定積分 $\int_{-2}^{-1} (x^3 + x) dx$ を計算します。

定積分積分多項式
2025/6/27

$\int (x^3 + x) dx = \frac{1}{4}x^4 + ax^2 + C$ の式の $a$ の値を求めます。

積分不定積分多項式
2025/6/27

不定積分 $\int 3x dx = ax^2 + C$ が与えられています。この式を満たす $a$ の値を求める問題です。

不定積分積分計算
2025/6/27

定積分 $\int_{1}^{2} 3x dx$ の値を求める問題です。

定積分積分不定積分
2025/6/27