問題は、与えられた関数が$x=0$で微分可能かどうかを判定する問題と、与えられた関数の導関数を求める問題の2つに分かれています。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数が$x=0$で微分可能かどうかを判定する問題と、与えられた関数の導関数を求める問題の2つに分かれています。

2. 解き方の手順

**問1.1.1**

微分可能かどうかの判定は、定義に従って$x=0$における微分係数が存在するかどうかを調べます。

A. $f(x) = |x|$

右側極限：

$\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h}{h} = 1$

左側極限：

$\lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

右側極限と左側極限が異なるので、$x=0$で微分可能ではない。

B. $f(x) = \begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

$\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h \sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} \sin(\frac{1}{h})$

$\lim_{h\to 0} \sin(\frac{1}{h})$は振動し、極限値を持たないので、$x=0$で微分可能ではない。

C. $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3}{|x|} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

$f(x) = \begin{cases} x^2 & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

$\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h = 0$

$x=0$で微分可能である。

D. $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sqrt{|x|}} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & x>0 \\ -\sqrt{-x} & x<0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

$\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \infty$

右側極限が存在しないので、$x=0$で微分可能ではない。

**問1.2.1**

A. $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$

$f'(x) = 12x^2 - 6x + 2$

B. $f(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1}$

$f'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$

3. 最終的な答え

A. (2)

B. (2)

C. (1)

D. (2)

A. $f'(x) = 12x^2 - 6x + 2$

B. $f'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$